Frage zur Differenzierbarkeit

04.08.2010, 17:07

Evelyn89

Frage zur Differenzierbarkeit

Guten Tag,

ich habe mal eine einfache Frage zur Differenzierbarkeit (auch mehrdimensional).
Warum muss der Definitionsbereich immer offen sein?

Unser Tutor erwähnte was davon, dass man auf dem Rand nicht differenzieren kann, aber irgendwie ist mir das nicht ganz klar.

Wäre nett, wenn da jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.
Danke smile

04.08.2010, 17:16

gonnabphd

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. Moment mal

[Edit:] Ah, Mist! Hatte das schon richtig erkannt. Also nochmal:

Nimm $\begin{eqnarray*} f: (0,1)\cup \{2\} \rightarrow \mathbb R , \; f(x) := \sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ als erstes Beispiel (dabei ist natürlich der Punkt x=2 von besonderem Interesse) und als triviales Beispiel, dass auch die zusätzliche Forderung "besitzt keine isolierten Punkte" nicht ausreichen würde, die allseits beliebte Einbettung $\begin{eqnarray*} i: \{0\} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Gruss.
Wink

04.08.2010, 17:46

Evelyn89

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Oder hat es vielleicht was damit zu tun, dass man dann nur einen einseitigen Grenzwert betrachten kann?

Also um die Diff'barkeit einer Fkt. $\begin{eqnarray*} f : [x_0,\infty)\to \mathbb R \end{eqnarray*}$

an der Stelle x_0 zu prüfen betrachten wir den Differentialquotienten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Ich gehe mal davon aus, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren muss.

Also müssen die folgenden Grenzwerte existieren:

1.Fall: h>0: (Grenzwertbetrachtung von rechts kommend)

$\begin{eqnarray*} \lim_{ h \downarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ (Grenzwert existiert, falls f diffbar!)

2.Fall: h<0: (Grenzwertbetrachtung von links kommend)

$\begin{eqnarray*} \lim_{ h \uparrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert kann nicht untersucht werden, da x_0 am Rand des Intervalls $\begin{eqnarray*} [x_0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist und man nicht von links kommen kann.

Sind meine Überlegungen soweit korrekt?
Und ist dies der Grund, warum man in der Analysis immer von offenen Mengen spricht?

P.S.: Im Mehrdimensionalen ist das wahrscheinlich alles etwas komplizierter, da die Definition der Diff'barkeit auch deutlich schwieriger ist, aber ich denke mal, dass das Prinzip dann klar wäre.

04.08.2010, 17:54

gonnabphd

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Hmm, ich sehe nicht weshalb man die Differenzierbarkeit nicht einfach so definieren könnte, so dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

existieren muss, wobei $\begin{eqnarray*} h \ne 0 \end{eqnarray*}$ . Das würde doch mit deiner Definition vom links- und rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmen.

verwirrt

Das einzige Beispiel - welches mir in den Sinn kommt - wo es (mit dieser Definition) nicht reicht, die zusätzliche Forderung zu stellen, dass die Menge keine isolierten Punkte haben darf, ist wirklich das von oben.

05.08.2010, 13:05

Philipp Imhof

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RE: Frage zur Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Evelyn89
Unser Tutor erwähnte was davon, dass man auf dem Rand nicht differenzieren kann, aber irgendwie ist mir das nicht ganz klar.

Auf dem Rand kann es sein, dass die Ableitung nicht eindeutig ist. Schau mal:

$\begin{eqnarray*} M:=\left\{\binom{x_1}{x_2} \in \mathbb R^2 | x_1=0\right\} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} a:=\binom{0}{a_2} \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: M\to\mathbb R, f(x):=0 \end{eqnarray*}$

Dann gibt es zwei Matrizen, nämlich $\begin{eqnarray*} A_1:=(0, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2:=(1, 0) \end{eqnarray*}$ , die

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-A_k(x-a)}{\|x-a\|}=0 \end{eqnarray*}$

erfüllen, also zwei Ableitungen.

05.08.2010, 14:30

Evelyn89

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RE: Frage zur Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Philipp Imhof

Zitat:

Original von Evelyn89
Unser Tutor erwähnte was davon, dass man auf dem Rand nicht differenzieren kann, aber irgendwie ist mir das nicht ganz klar.

Läuft dies nicht auch darauf hinaus, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert vom Differentialquotienten nicht übereinstimmen? (So wie ich es oben versucht habe darzustellen)
Impliziert ja, dass es 2 verschiedene Ableitungen geben würde.
Oder halt wie ich es oben gemeint habe, dass es die Ableitung gar nicht gibt, da man den Punkt nur von einer Seite kommend linear approximieren kann.

Ist es denn eigentlich ein Problem, wenn es man die Grenzwertbetrachtung nur einseitig machen kann? Eigentlich doch nicht oder?

Werde mir die Beispiele von euch jetzt ausführlich anschauen.

P.S.: Kann man sich die Definition der Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen denn eigentlich irgendwie veranschaulichen?
Irgendwie kann ich mir da kein richtiges Bild von machen.
Im 1-dimensionalen Fall konnte man es grafisch gut mit der Sekantensteigung zeigen, die immer mehr zu eine Tangente wird. Wie sieht´s im mehrdimensionalen aus?

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