Diagonalisierbarkeit von Matrizen

04.08.2010, 17:25

lileteeps

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Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Hallo zusammen,

im moent beiße ich an folgender aufgabe herum:

Zu einer Matrix W = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 &2\\ 0 & 2 & 2&0 \\ 0 & 2 & 2&0\\ 2 & 0 & 0 &2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gibt es eine reguläre matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \end{eqnarray*}$ . Richtig oder falsch?

So... meine Idee dazu wäre folgende:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \end{eqnarray*}$ beschreibt die diagonalisierung der matrix Wmit der diagonalmatrix E (hier einheitsmatrix,also alle eigenwerte 1 ) und der matrix A in der spaltenweise linear unabhängige eigenvektoren zu den eigenewerten stehen sollen.
Die Matrix W ist eine symmetrische matrix und somit auf jeden fall diagonalisierbar,was mir aber nicht weiterhilft.

ich würde fast sagen $\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E => A^{-1}A = E W^{-1} \end{eqnarray*}$

... bevor ich hier meine gesamten gedanken aufschreibe ,würd ich gerne ein kleines feedback haben=)

liebe grüße

teeps-die-sich-nicht-lange-einloggen-kann

04.08.2010, 17:39

gonnabphd

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Hi,

Hmm, vielleicht könntest du dir ja das folgende überlegen:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow W Ax = Ax \quad \forall \, x \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Nun ist aber A bijektiv, also kann man genauso gut schreiben:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow Wy = y \quad \forall \, y \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Gruss. Wink

Wink

Was ich vergessen habe zu erwähnen:

Zitat:

ich würde fast sagen $\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E => A^{-1}A = E W^{-1} \end{eqnarray*}$

Schau' dir die Matrix doch mal an, ist die wirklich invertierbar?

04.08.2010, 17:42

Iorek

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RE: Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Zitat:

Original von lileteeps
Hallo zusammen,

im moent beiße ich an folgender aufgabe herum:

Zu einer Matrix W = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 &2\\ 0 & 2 & 2&0 \\ 0 & 2 & 2&0\\ 2 & 0 & 0 &2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gibt es eine reguläre matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \end{eqnarray*}$ . Richtig oder falsch?

Mit einer Begründung, wieso diese Matrix diagonalisierbar ist (was du weiter unten geschrieben hast), richtig, aber:

Zitat:

Original von lileteeps
$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \end{eqnarray*}$ beschreibt die diagonalisierung der matrix W mit der diagonalmatrix E (hier einheitsmatrix,also alle eigenwerte 1 )

Wie kommst du darauf, dass du als Diagonalmatrix die Einheitsmatrix erhältst?

04.08.2010, 17:48

gonnabphd

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Achso, was ist denn dieses $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ nun? Nun doch nicht die Einheitsmatrix?

04.08.2010, 17:51

liliteeps

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RE: Diagonalisierbarkeit von Matrizen
Wie kommst du darauf, dass du als Diagonalmarix die Einheitsmatrix erhälst?

war so vorgegeben smile

smile

04.08.2010, 17:53

Iorek

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Dann ist die Vorgabe falsch. Deine Matrix ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, da symmetrisch, allerdings ist diese Diagonalmatrix nicht die Einheitsmatrix (ähnliche Matrizen haben u.A. gleichen Rang/gleiche Spur, zwei Sachen die man hier leicht überprüfen kann und zu dem Schluss kommen muss, dass es sich nur um eine Diagonalmatrix und nicht die Einheitsmatrix handeln kann).

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04.08.2010, 17:53

liliteeps

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E ist die einheistmatrix.war in der aufgabe so vorgegeben.man soll bewerten ob die aussage war oder falsch ist smile

smile

W ist nicht invertierbar,weil W singulaer ist...mh..

alles sackgassen... unglücklich

unglücklich

04.08.2010, 17:55

Iorek

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Zitat:

Original von liliteeps
E ist die einheistmatrix.war in der aufgabe so vorgegeben.man soll bewerten ob die aussage war oder falsch ist smile

smile

Wenn das die Aufgabe ist, dann kannst du ja mittels Rang/Spur oder von mir aus über das charakt. Polynom argumentieren und die Frage beantworten smile

smile

Zitat:

Original von liliteeps
W ist nicht invertierbar,weil W singulaer ist...mh..

alles sackgassen... unglücklich

unglücklich

Auch eine Eigenschaft die du zur Argumentation benutzen kannst.

04.08.2010, 17:55

liliteeps

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danke iorek smile

smile

antwort leuchtet ein .
ich denk iwie immer in die falsche richtung smile

smile

ich glaub ich les nochmal alles ueber matrizen nach smile

smile

04.08.2010, 17:58

liliteeps

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an das polynom hab ich ganz am anfang gedacht.allerdings (finde ich)dauert das lange smile

smile

wuerd ich zur not auch machen aber in unseren klausuren wird nur wahr falsch geantwortet und man hat nich viel zeit..

wie koennz ich denn ueber die singularitaet der matrix argumentieren?

04.08.2010, 17:59

Iorek

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Aussage 1: Die Einheitsmatrix hat offensichtlich vollen Rang -> invertierbar

Aussage 2: Ähnliche Matrizen haben den selben Rang

Zusammensetzen.

Edit: Und das charakt. Polynom ist bei so einer schönen Matrix mit vielen Nullen auch schnell berechnet.

04.08.2010, 18:20

gonnabphd

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Übrigens sieht man schon von weitem, dass z.B. der erste Einheitsvektor durch W nicht auf sich selbst abgebildet wird.

Zitat:

Hi,

Hmm, vielleicht könntest du dir ja das folgende überlegen:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow W Ax = Ax \quad \forall \, x \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Nun ist aber A bijektiv, also kann man genauso gut schreiben:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow Wy = y \quad \forall \, y \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Gruss. Wink

04.08.2010, 19:20

lleteeps

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muss ich mir heute abend alles gedanklich nochmal zusammensetzen...
smile

smile

05.08.2010, 15:16

liliteeps

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wollte nun keinen eigenen thread dafür aufmachen... das passt ja hier iwie rein=)

Zitat:

Original von gonnabphd
Übrigens sieht man schon von weitem, dass z.B. der erste Einheitsvektor durch W nicht auf sich selbst abgebildet wird.

Zitat:

Hi,

Hmm, vielleicht könntest du dir ja das folgende überlegen:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow W Ax = Ax \quad \forall \, x \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Nun ist aber A bijektiv, also kann man genauso gut schreiben:

$\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = E \Leftrightarrow Wy = y \quad \forall \, y \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Gruss. Wink

mh ich glaub zum vollen verständnis musst du mir nochmal erklären was du damit meinst dass der erste einheitsvektor durch W nicht auf sich abgebildet wird.. smile

smile

vllt kurz eine verständliche ( im bezug auf fachliteratur ) erklärung wie der zusammenhang zwischen den einzelnen matrizen aus $\begin{eqnarray*} A^{-1}WA = D \end{eqnarray*}$ ...

Ich habe zb im netz gelesen,dass man,wenn man eine zu W ähnliche matrix finden möchte, eine basis finden muss ,bzgl. der W diagonalgestalt hat.
ich tu mich da wohl noch ein wenig schwer... das vllt anhand eines kurzen beispiels erklären?:/

lg lili

05.08.2010, 15:20

Iorek

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RE: wollte nun keinen eigenen thread dafür aufmachen... das passt ja hier iwie rein=)

Zitat:

Original von liliteeps

mh ich glaub zum vollen verständnis musst du mir nochmal erklären was du damit meinst dass der erste einheitsvektor durch W nicht auf sich abgebildet wird.. smile

smile

Ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte. Welche Eigenwerte hat die Einheitsmatrix? Was sind die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten? Kann das also zu deiner Matrix W passen?

05.08.2010, 15:30

jester.

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Andererseits kann man sich überlegen, wie für eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} P^{-1}EP \end{eqnarray*}$ aussehen kann - oder anders gesagt, welche Matrizen in der Konjugiertenklasse der Einheitsmatrix liegen.

05.08.2010, 16:13

liliteeps

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RE: wollte nun keinen eigenen thread dafür aufmachen... das passt ja hier iwie rein=)

Zitat:

Original von Iorek

Ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte. Welche Eigenwerte hat die Einheitsmatrix? Was sind die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten? Kann das also zu deiner Matrix W passen?

eigenwerte der einheitsmatrix sind 1 entsprechender vielfachheit.also hier 4.

zu den Eigenvektoren : Alle...Vektoren des R^4 ? 0.o

passt wohl nich zu w,denn w hat definitiv nicht alle vektoren des R^n als Eigenvektoren..

mhh..

@jester: ich les mir gleich mal an was eine konjugiertenklasse is... smile

smile

05.08.2010, 16:19

Iorek

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RE: wollte nun keinen eigenen thread dafür aufmachen... das passt ja hier iwie rein=)

Zitat:

Original von liliteeps
eigenwerte der einheitsmatrix sind 1 entsprechender vielfachheit.also hier 4.

zu den Eigenvektoren : Alle...Vektoren des R^4 ? 0.o

passt wohl nich zu w,denn w hat definitiv nicht alle vektoren des R^n als Eigenvektoren..

Ja, der einzige Eigenwert der Einheitsmatrix ist die 1, ein möglicher Eigenvektor ist der von gonnabphd vorgeschlagene $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ , denn: $\begin{eqnarray*} E_4\cdot e_1=e_1=1\cdot e_1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} W\cdot e_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\neq 1\cdot e_1 \end{eqnarray*}$ , also ist W nicht ähnlich zur Einheitsmatrix.

05.08.2010, 16:35

liliteeps

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ah ok,verstanden.
so langsam macht mathe doch iwie spass... auch wenn ich mir noch vorkomm wie david gegen goliath... smile

smile

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