gewichtetes arithmethisches mittel, Summenzeichen u. mathematisch korrekte Darstellung

04.08.2010, 18:45	adam.wood	Auf diesen Beitrag antworten »
gewichtetes arithmethisches mittel, Summenzeichen u. mathematisch korrekte Darstellung Mein Problem beinhaltet nicht den Rechenweg - den kenne ich -, sondern die korrekte mathematische Darstellung als allgemeingültige Formel! Es geht um die Keimzahlbestimmung und Auswertung mehrerer Verdünnungsstufen und die Mittelwertbildung als gewichtetes arithmetisches Mittel. Ich habe zunächst von der zu untersuchenden Probe sieben Verdünnungsstufen erstellt, wobei um jeden Schritt um eine Zehnerpotenz verdünnt wurde. Also: $\begin{eqnarray} 10^{0}, 10^{-1}, 10^{-2}, ..., 10^{-7} \end{eqnarray}$ bzw. allgemein formuliert: $\begin{eqnarray} 10^{-i}, i\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ . Pro Verdünnungsstufe habe ich zwei Platten beimpft (Doppelbestimmung) und bebrütet. Nun ist es im Allgemeinen so, dass nicht jede Platte ausgewertet werden kann, da entweder zu Koloniezahl ( $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ) zu klein oder zu hoch ist. Es sollen nur Koloniezahlen ausgewertet werden, deren Anzahl zwischen 10 und 300 liegt. Also: $\begin{eqnarray} 10\leq c \geq 300 \end{eqnarray}$ Nun erfolgt die Auswertung und die Mittelwertbildung. Angewandt wird hier ein gewichtetes arithmetisches Mittel, da die Genauigkeit statistisch gesehen in den niedrigeren Verdünnungen, also höheren Koloniezahlen, liegt. Als Beispiel habe ich folgende Koloniezahlen ausgezählt: Verdünnungsstufe $\begin{eqnarray} 10^{-2} \end{eqnarray}$ : (1.)140 (2.)143 Verdünnungsstufe $\begin{eqnarray} 10^{-3} \end{eqnarray}$ : (1.)13 (2.)14 Aus diesen Werten bestimme ich nun das gewichtete arithmetische Mittel folgendermaßen: $\begin{eqnarray} \overline{c}_{gew}= \frac{140 + 143 + 13 + 14}{10^{-2}\cdot 2 + 10^{-3}\cdot 2} = 1,4\cdot 10^{-4} \end{eqnarray}$ Nun zur eigentlichen Frage: Ich möchte gerne diesen Rechenweg mit einer allgemeinen Formel beschreiben. Mein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} \overline{c}_{gew}= \frac{\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^l c_{ij} }{\sum\limits_{i=1}^m 10^{-i}\cdot n_{i} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i,j,n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 10\leq c \geq 300 \end{eqnarray}$ Wobei: $\begin{eqnarray} c_{ij} \end{eqnarray}$ ... Koloniezahl zu der jeweiligen Verdünnungsstufe $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und Probennr. $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ (in meinem Bsp. war es ne Doppelbestimmung, also kann es da nur die zahl 1oder 2 annehmen) $\begin{eqnarray} n_{i} \end{eqnarray}$ ... der zur zugehörigen Verdünnungsstufe $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ausgewertete Probenumfang bzw. Anzahl der Platten, die zur jeweiligen Verdünnungsstufe $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ausgewertet wurden $\begin{eqnarray} 10^{-i} \end{eqnarray}$ ... die Verdünnung als Umrechnungsfaktor Kann ich das allgemeine Formel so gelten lassen? Ist es mathematisch korrekt ausgedrückt? Ist es vll so besser? $\begin{eqnarray} \overline{c}_{gew}= \frac{\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n c_{ij} }{\sum\limits_{i=1}^m 10^{-i}\cdot n_{i} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i,j \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 10\leq c \geq 300 \end{eqnarray}$ Ließe sich der Zähler im Bruch zusammenfassen? In etwa so, was meines Erachtens aber nicht richtig wäre da die beiden Indices nicht zwangsläufig die selbe "Laufweite" haben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i,j=1}^n c_{ij} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass ich mich irgendwie deutlich ausgedrückt habe, ansonsten noch mal bitte nachfragen. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

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