Nullfolge C_n

04.08.2010, 19:46

frage86

Nullfolge C_n

Meine Frage:
Hallo Leute,
stehe vor folgender Aufgabe:
Gegeben: Es gelte $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n=1 \end{eqnarray*}$ .
Zeige: $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge

Meine Ideen:
Ich bekomme es nur teilweise hin:
Annahme: $\begin{eqnarray*} c_n\rightarrow c>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n\geq1+c_n \end{eqnarray*}$ und bei Grenzübergang für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\geq 1+c \end{eqnarray*}$
und damit (weil c>0) ein widerspruch!

Analog kann man zeigen, dass c_n nicht gegen + unendlich divergiert.

Meine Frage: Wie zeige ich die Fälle
a) $\begin{eqnarray*} c_n \rightarrow c<0 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} c_n\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$
c) c_n kann ja auch garnichts von dem sein, z.b. c_n = (-1)^n, also beschränkt

viell. gibts auch ein ganz anderen Weg! Danke im vorraus

Niko

04.08.2010, 19:49

Iorek

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Du kennst doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n=? \end{eqnarray*}$ , versuch dich damit mal an der Aufgabe smile

04.08.2010, 20:08

frage86

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Daran hab ich auch gedacht, der Grenzwert ist exp..und wenn statt 1 dort x steht ist der grenzwert exp(x)....aber was mach ich , wenn dort c_n steht?

04.08.2010, 20:34

m_irco

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Zitat:

Original von frage86
Daran hab ich auch gedacht, der Grenzwert ist exp..und wenn statt 1 dort x steht ist der grenzwert exp(x)....aber was mach ich , wenn dort c_n steht?

Ja, was bedeutet es denn, wenn dort ein x steht. Das ist doch nur ein Platzhalter für (in diesem Fall) eine beliebige reelle Zahl. Jedes Folgeglied aus $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ steht doch auch für eine reelle Zahl... Du kannst also getrost für jedes Glied $\begin{eqnarray*} \exp (c_n) \end{eqnarray*}$ schreiben und darauf dann Schlussfolgerungen ziehen..

04.08.2010, 20:52

giles

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Zitat:

Original von m_irco
Ja, was bedeutet es denn, wenn dort ein x steht. Das ist doch nur ein Platzhalter für (in diesem Fall) eine beliebige reelle Zahl. Jedes Folgeglied aus $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ steht doch auch für eine reelle Zahl... Du kannst also getrost für jedes Glied $\begin{eqnarray*} \exp (c_n) \end{eqnarray*}$ schreiben und darauf dann Schlussfolgerungen ziehen..

Das Argument überzeugt mich irgendwie garnicht, es ist doch ein definitiver Unterschied zwischen einer von n abhängigen Folge und einer Konstanten? Besonders dort $\begin{eqnarray*} \exp (c_n) \end{eqnarray*}$ zu schreiben wäre etwas ganz anderes, denn das wäre ja eigentlich eher

$\begin{eqnarray*} \exp (c_n) = \lim_{m\to \infty} \left( 1+\frac{c_n}{m}\right)^m \overset{?}{\leftrightarrow} \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac{c_n}{n} \right) ^n \overset{?}{\neq} \lim_{n\to \infty} \lim_{m \to \infty} \left( 1+\frac{c_n}{m}\right) ^m \end{eqnarray*}$

@frage86
Die Aussage würde ich am ehesten via Kontraposition zeigen, also angenommen $\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon>0: \exists N \in \mathbb{N} : |c_n| > \varepsilon : \forall n\geq N \end{eqnarray*}$ dann.......

04.08.2010, 21:15

René Gruber

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Zunächst ist noch gar nicht klar, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert. Daher ist die Kontraposition zu "Nullfolge" wohl eher

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon>0 \quad \forall N \in \mathbb{N} \quad \exists n\geq N :\quad |c_n| > \varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

d.h., es existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (n_k)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |c_{n_k}| > \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

04.08.2010, 21:19

giles

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Zitat:

Original von René Gruber
Zunächst ist noch gar nicht klar, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert.

Stimmt natürlich, gut dass dir das noch aufgefallen ist Freude

04.08.2010, 21:58

Iorek

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In der Tat, da hab ich wohl zu schnell gelesen/langsam gedacht. Dann zieh ich meinen Vorschlag von vorhin erstmal zurück...mal gucken ob sich daraus nicht aber doch vllt. was machen lässt.

05.08.2010, 10:56

René Gruber

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Mir fällt gerade auf, dass die aufgestellte Behauptung falsch ist - zumindest solange es nicht zusätzliche Forderungen an die Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ gibt, wie beispielsweise Nichtnegativität, oder etwa Beschränktheit nach unten.

Denn ansonsten gibt es das folgende einfache Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} c_n = \begin{cases} -2n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

05.08.2010, 11:39

tmo

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Die Behauptung ist richtig.

Die Beschränktheit folgt sofort, denn sonst kann man folgern, dass es unendlich viele Indizes mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n > 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gibt, im Widerspruch zur Konvergenz gegen 1.

Nun kann man zeigen: $\begin{eqnarray*} c \text{ Häufungspunkt von }c_n \Longrightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist sehr einfach und funktioniert wie auch der Beweis der Beschränktheit völlig ohne Kenntnisse über $\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt war, wissen wir dass es mind. einen Häufungspunkt gibt. Andererseits gibt es aber nur einen, nämlich 0. Fertig.

05.08.2010, 11:55

René Gruber

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Wenn das Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} c_n = \begin{cases} -2n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

nicht ernst genommen wird, muss ich eben selbst vorrechnen, dass in diesem Fall stets $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist:

Für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ ist das sowieso klar. Für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt durch Einsetzen

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n = \left(1+\frac{-2n}{n}\right)^n = (1-2)^n = (-1)^n = 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit haben wir eine unbeschränkte Folge, die den Voraussetzungen genügt, demnach muss hier

Zitat:

Original von tmo
Die Beschränktheit folgt sofort, denn sonst kann man folgern, dass es unendlich viele Indizes mit $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n > e \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n < \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ gibt, im Widerspruch zur Konvergenz gegen 1.

offenbar irgendwo ein Fehlschluss lauern.

05.08.2010, 12:04

tmo

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Klar, der Fehler liegt ein $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{c_n}{n}\right)^n \leq \left(1-\frac{1}{n} \right)^n \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c_n<-1 \end{eqnarray*}$ , da erstere Abschätzung erstmal nur gilt, falls der Klammerausdruck positiv ist. böse

Die Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} c_n +n > 0 \end{eqnarray*}$ würde die Behauptung also z.b. retten.

Interessant würde bleiben, ob mit

$\begin{eqnarray*} c_n = \begin{cases} -2n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

und einem weiteren Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ stehts $\begin{eqnarray*} c_n-d_n \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. dein Gegenbeispiel ist bis auf die Addition von Nullfolgen das einzige.

05.08.2010, 12:33

frage86

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also erstmal danke für die vielen Antworten....aber irgendwie seh ich jetzt noch nicht wirklich, wie ich das ganze vollständig löse....

05.08.2010, 12:44

tmo

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Es gibt jetzt 2 Möglichkeiten:

1. Du hast uns keine Vorraussetzungen an $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ verschwiegen. Dann such in diesem Thread nach einem Gegenbeispiel und knall es dem Aufgabensteller an den Kopf.

2. Es gibt weitere Vorraussetzungen an $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ , die du uns verschwiegen hast. Dann such in diesem Thread nach einem Beweisansatz, vervollständige ihn und gewöhne dir in Zukunft an, alle Vorraussetzungen hinzuschreiben.

05.08.2010, 13:22

René Gruber

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Zitat:

Original von tmo
Interessant würde bleiben, ob mit

$\begin{eqnarray*} c_n = \begin{cases} -2n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

und einem weiteren Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ stehts $\begin{eqnarray*} c_n-d_n \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. dein Gegenbeispiel ist bis auf die Addition von Nullfolgen das einzige.

Das trifft es auch nicht ganz, denn die "Divergenzindizes" (um es salopp zu sagen) müssen ja nicht alle geraden Zahlen umfassen, es müssen nur unendlich viele sein.

Ich versuche mal meine Vermutung zu formulieren, dabei muss ich leider etwas weiter ausholen:

Zitat:

Für jede Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{c_n}{n}\right)^n=1 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der geraden natürlichen Zahlen so, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (c_n-a_n) = 0 \end{eqnarray*}$ für

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} -2n & \;\mbox{falls $n\in A$} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

gilt.

Hoffentlich stimmt das jetzt. verwirrt

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