Eigenwertaufgaben aus einer Klausur(multiple choice)

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tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertaufgaben aus einer Klausur(multiple choice)
Meine Frage:
Ich brauche Hilfe für folgende Klausuraufgaben, also eine Erklärung was ich tun muss...


Meine Ideen:
Die erste und die vorletzte der Aufgaben habe ich bereits selbst gelöst, es wäre also nett wenn mir jem mit den anderen weiterhelfen könntesmile
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

wenigstens für ein paar aufgaben bräuchte ich hilfe
 
 
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »
Gedankenegänge..
Moin!

La 2 tuhh?^^

also ich versuch mal ein wenig dazu aufzuschreiben..keinen anspruch auf vollständigkeit.

da ja keine konkreten matrizen gegeben sind, würd ich so anfangen:

Matrix B setzt sich zusammen aus zwei Dyaden die jeweils den Rang 1 haben.
somit hat B auch den Rang 1.

eine diagonalisierbare matrix erfüllt doch:
sprich es lässt sich eine ähnliche matrix D finden zu B ....

....soweit die für mich sichere seite der argumentation... mag jemand weitermachen=)?
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »
neuer ansatz...
neue idee..



habe ja B als und die gleichungen sowie

kann ich das nich irgendwie formal beweisen?



hier komme ich nun nicht mehr wirklich weiter...weil mir niocht ganz klar ist "wohin" ich willsmile zb : wie drücke ich X formal anders aus,sodass ich damit arbeiten k ann? ich denke ich muss das garnicht ander sausdrücken

mich würde die lösung dieser aufgabe auch brennend interessieren... lg teeps
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »
habs=)
Wenn B diagonalisierbar ist, gilt :

mit D einer Diagonalmatrix ähnlich zu B.
Es muss also eine Diagonalmatrix existieren ,die dieselben Eigenwerte nebst algebr. und geometrischer Vielfachheit wie B besitzt => selbes char. Polynom

Also muss gelten :



somit ist B diagonalisierbar?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

zu 3)

\lambda (x\times y)= B(x\times y)\\\leftrightarrow Bx \times y\\\leftrightarrow (xy^{t}x + yx^{t}x) \times y\\\leftrightarrow (\frac{1}{2} x + y) \times y\\\leftrightarrow (\frac{1}{2} x \times y + y\times y)\\\leftrightarrow (\frac{1}{2} x \times y + 0)

\\\Rightarrow \lambda (x\times y)= \frac{1}{2} (x \times y )

also ist x x y ein eigenvektor von B
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

zu 3)

gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lileteeps

Also muss gelten :




Du hast doch bloss gezeigt, dass die Eigenvektoren von D auch die Eigenvektoren von B sein müssen, falls D existiert.

Ein möglicher Ansatz wäre nach "Symmetrie in der Matrix B" zu suchen. Symmetrische Matrizen sind ja bekanntlich diagonalisierbar.
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh also der beweis ist in meinem mathebuch für allgemeine Matrizen A und B geführt.

Ich dachte,wenn ich B gegeben hab und nun zeige ,dass die aequivalenz gilt , steht das dafür dass eine diagonalmatrix existiert mit selbem char. polynom.

erklär mal wie dus gemacht hättest und was genau nun an meinem beweis falsch ist.=)
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh ... außerdem hab ich geprüft ob das char. polynom identisch is... das impliziert meines wissens nach nicht,dass die eigenvektoren gleich sind... 0.o ?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

1) klärt sich durch Cauchy-Schwarz

2) B symmetrisch?

3) schon beantwortet (weiter oben durch Lileteeps)

4) Werte mal aus, findest du nun einen Vektor , welcher durch auf 0 abgebildet wird?

5) Für jeden Vektor gilt:

6) Hier findet man einen Vektor, welcher nicht auf sich selbst abgebildet wird durch - siehe auch Aufgabe 4.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mh also der beweis ist in meinem mathebuch für allgemeine Matrizen A und B geführt.


Du hast ganz am Anfang die Annahme gemacht, dass für eine Diagonalmatrix D gilt:.

Und dann hast du deine Umformungen gemacht und gezeigt, dass dann jeder Eigenwert von D auch ein Eigenwert von B sein muss. Das zeigt aber nicht, dass es so ein D geben muss.

Edit: Ah, oben habe ich mich verschrieben, meinte nich Eigenvektoren, sondern -werte.
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Edit: Ah, oben habe ich mich verschrieben, meinte nich Eigenvektoren, sondern -werte.


ok nu is meine welt wieder heil...=)

Bevor ich mir nun eine Beweis ausmale,der mir sagt ob B symmetrisch ist oder nicht :

was sagt mir die symmetrie von B darüber ob so ein D existiert?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

symmetrische matrizen sind diagonalisierbar...
gut...
*weitersuch*
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

nagut ich habs nun einfach ein paar mal mit verschiedenen vektoren ausprobiert und jedesmal waren die matrizen symmetrisch,also diagonalisierbar=)

richtig?

ps: gibts einen formalen beweis mit dem man die existenz einer diagonalmatrix nachweisen kann die zu B ähnlich ist? Würde mich nun doch interessieren...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein simples Ausprobieren von ein paar Vektoren ist doch kein Beweis geschockt

Mach dir doch einfach mal Gedanken wie der Eintrag (i,j) von B aussieht, wie setzt sich dieser zusammen. Danach das ganze noch für den Eintrag (j,i).

Edit: Sorry, gonna, wollte dir nicht dazwischenfunken, du wurdest mir als offline angezeigt.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ps: gibts einen formalen beweis mit dem man die existenz einer diagonalmatrix nachweisen kann die zu B ähnlich ist? Würde mich nun doch interessieren...


Was meinst du jetzt damit? (Die Antwort ist zwar in jedem Falle JA!)

Dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind liest, du am besten in einem Lin. Alg. Buch nach (z.B. im Fischer S. 312 - dort wird sogar noch ein stärkeres Resultat bewiesen).

Prinzipiell steht das aber sicher in jedem LinAlg - Buch.


Dass B in diesem Fall hier symmetrisch ist, muss man ja gerade zeigen, dazu braucht man aber nur

und die Kommutativität der Matrizenaddition.
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »




?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »



mhh... smileys sollte man in latex wohl lassen =) im sorry
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Mhh, deine Notation tut ein bisschen weh... Es macht keinen Sinn, hier Äquivalenzpfeile zu benutzen und man schreibt einfach , denn was soll in diesem Zusammenhang überhaupt bedeuten?

Und die Umformungen schreibt man so auf:



Ansonsten ist das korrekt.
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mhh... eigentlich hatte ich in latex nach dem gleichheitszeichen mit dem ausrufezeichen gesucht ,ausdruck für " soll gleich sein"...(habs aber in wiki nicht gefunden und auch sonst auf den drei anderen seiten nicht...) ..drum hab ich einfach mal das dreigestrichene genommen... benutzen bei uns die tutoren immer...smile

mh... wann setzt man denn die äquivalenz ?B is doch im grunde äquivalent zu B^t =)(frage am rande)

Zitat:
Ansonsten ist das korrekt.

wunderbar...der nächste folgt am fuße:

(A+B) =
(A+B)x =
(A+B) y=
beide gleichungen sollen ungleich null sein( hierfür brauch ich wie gesagt noch ein passendes latexzeichen)..

im endeffekt ergibt sich für (A+B) x und (A+B) y derselbe ausdruck:
Zitat:
\frac{1}{2} x +x+y+\frac{1}{2}y
was ungleich null ist.was heisst ,dass ich keinen vektor finde ungleich null der auf null abgebildet wird?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

quatsch... natürlich heisst dass ich finde einen der auf null abgebildet wird...
würde auf der linken seite anstatt

Null stehen falls A+B regulär wäre?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

zur 5)

wenn ich hier über die symmetrie argumentiere funktioniert das nicht...wieso?

gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ein Ausrufezeichen machen willst, kannst du das folgendermassen bekommen:

code:
1:
A \overset{!}{=} B


Das gibt




Zitat:
mh... wann setzt man denn die äquivalenz ?B is doch im grunde äquivalent zu B^t =)(frage am rande)


z.B. benutzt man das von dir verwendete Zeichen für Reihen:



heisst, dass die Reihen-Werte gleich sind,



heisst, dass sogar

für alle i. Das ist also eine stärkere Aussage. Da zwei Matrizen jedoch gleich sind, genau dann wenn alle Einträge gleich sind, ist ein schlichtes "=" ausreichend.


Zitat:
Null stehen falls A+B regulär wäre?


Bisher hast du noch keinen Vektor angegeben, welcher auf die 0 abgebildet wird.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wenn ich hier über die symmetrie argumentiere funktioniert das nicht...wieso?



Ist jede diagonalisierbare Matrix auch symmetrisch?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

is mir auch grad in den sinn gekommen.. so ein unsinn... ich versuchs grad darüber dass xy^T wohlmöglich orthogonal ist...*tüftel*
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

ganz banale frage...

wie würde die Einheitsmatrix in dem fall aussehen,wenn ich schauen wollte ob die dyade eine orthogonale matrix ist?
wohl doch oder ?

wenn ich nun sage (soll E sein)
und folgere,dass das ist und zudem weiss,dass für orthogonale matrizen gilt kann ich dann sagen ,dass ist?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Uff, ich hab' ehrlich gesagt keine Ahnung von was du genau redest, aber ich geb' dir einen Hinweis:

Ist irgendein Vektor, so wird dieser durch abgebildet auf



dabei ist das Standardskalarprodukt im . Welche Dimension hat nun der Eigenraum zum Eigenwert 0? Worauf wird x abgebildet?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mhh zu den vektoren:

x und y stehen für vektoren .....die "gleichung" setz ich 0.... wie rechne ich denn das am schlausten aus?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Na... Du kannst natürlich nichts direkt ausrechnen. Die Überlegungen müssen alle theoretischer Natur sein, wir wissen ja praktisch nichts von x und y...

z.B so:

x ist nicht gleich 0 wegen der Bedingung

Also ist

Welche Dimension hat nun der Raum , welcher orthogonal zu y ist?

Anderseits wird x abgebildet auf , also ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert . Und damit wissen wir, dass der Eigenraum zum Wert 0 die Dimension ???? hat und derjenige zum Wert mindestens die Dimension 1 haben muss.

Das ist aber auch schon alles, was wir wissen müssen. Wieso?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »
wollt nur kurz bescheid geben....
...mach mich morgen wieder an diese aufgabe... bis dahin schonmal vielen dank.=)

muss mich heute um das vorankommen im skript kümmern.

lg bis morgen in diesem threadsmile
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

Meine lieben mathe fanssmile
erstmal vielen vielen dank für die bisherige hilfe, ist ja wirklich toll wie die leute sich hier mühe geben die aufgaben zu lösen

bisher ist aber noch nicht geklärt ob jetzt A+B regulär ist oder nicht!? wo sehe ich dass die singulär sind!?

desweiteren is mit das hier nicht ganz klar:
Zitat:
x ist nicht gleich 0 wegen der Bedingung Also ist Welche Dimension hat nun der Raum , welcher orthogonal zu y ist? Anderseits wird x abgebildet auf , also ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert . Und damit wissen wir, dass der Eigenraum zum Wert 0 die Dimension ???? hat und derjenige zum Wert mindestens die Dimension 1 haben muss. Das ist aber auch schon alles, was wir wissen müssen. Wieso?


wär nett wenn ihr mir das noch erklären könntet was noch ungeklärt istsmile
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1) klärt sich durch Cauchy-Schwarz

2) B symmetrisch?

3) schon beantwortet (weiter oben durch Lileteeps)

4) Werte mal aus, findest du nun einen Vektor , welcher durch auf 0 abgebildet wird?

5) Für jeden Vektor gilt:

6) Hier findet man einen Vektor, welcher nicht auf sich selbst abgebildet wird durch - siehe auch Aufgabe 4.


Hi,

Zitat:
bisher ist aber noch nicht geklärt ob jetzt A+B regulär ist oder nicht!? wo sehe ich dass die singulär sind!?


Tipp 4) sollte eigenlich ausreichen. Das folgt aus




Was ist dir am anderen Tipp denn nicht klar? Bzw. was verstehst du davon? (Ich denke mal, dass klar ist, dass das ein Lückentext ist, welchen du noch ausfüllen solltest und dann die nötigen Schlüsse daraus ziehen musst.)
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

was kann ich eig aus folgender aussage schließen, hat jetzt nichts mit einer euerer antworten zu tun:

was sagt mir die aussage xyT mit xTy ungleich 0 hat die eigenwerte 0 und xTy mit alpha(lamda1)=n-1 un alpha(lamda2)=1


kann ich daraus diagonalisierbarkeit schließen?



zu A+B:
gut eine bijektive abb würde bedeuten es gibt GENAU eine lösung oder?
mir fällt aber kein vektor ein der das zu null macht!?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib doch mal Ax, Ay, Bx, By auf. Dann kann man weiterschauen.

Zu der ersten Frage: Die Notation ist nicht einheitlich in LinAlg (oder überhaupt in der Mathematik), du solltest also Dinge wie alpha(...) definieren - ich verstehe die Aussage nämlich nicht.

Ausserdem wäre es freundlich, den Formeleditor zu benutzen. Ist einfach zu bedienen und ich krieg' sonst Augenkrebs.

Wink
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

jo wenn ich Ax Ay Bx By ausrechne kommt ja sowas raus:

Ax=0,5y + x
Ay=0,5x+y
Bx=0,5x+y
By=0,5y+x


was sagt mir das nun?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Ausserdem wäre es freundlich, den Formeleditor zu benutzen. Ist einfach zu bedienen und ich krieg' sonst Augenkrebs.

Mach das doch. Es sieht einfach besser aus und ist leichter zu lesen. Hier einmal deine Formeln (unverändert!) in der Formelumgebung:
Zitat:
Original von tuhh student

gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



was sagt mir das nun?


Jaja, da lässt sich jemand alles aus der Nase ziehen, was? Dann ziehe ich mal los: die Abbildung, die du betrachten sollst ist ja und jetzt sehen doch und irgendwie sehr "ähnlich" aus, oder?

Ist also bijektiv?
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber was ich ja nur wissen will ist ob eine bijektive abbildung bedeutet dass A+B nicht regulär ist!?????
das war ja die frage
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tuhh student
ja aber was ich ja nur wissen will ist ob eine bijektive abbildung bedeutet dass A+B nicht regulär ist!?????
das war ja die frage



Zitat:
Original von tuhh student
gut eine bijektive abb würde bedeuten es gibt GENAU eine lösung oder?
mir fällt aber kein vektor ein der das zu null macht!?


bijektive abbildungen sind injektiv + surjektiv dh sie bilden genau ein urbild auf EIN bild ab....

les das im skript von voß /mackens nochmal nach..steht da gut beschrieben
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