Besondere Klasse von Permutationen?

05.08.2010, 08:33

Iridium

Besondere Klasse von Permutationen?

Hi,

weiß jemand, ob die Permutationen, die man erhält, wenn man die Elemente des Restklassenringes $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{0,1,\cdots,m-1\} \end{eqnarray*}$ mit einem konstanten ganzzahligen Faktor $\begin{eqnarray*} 1 < n < m \end{eqnarray*}$ multipliziert (d.h. das Ergebnis der Operation $\begin{eqnarray*} \times n \pmod{m} \end{eqnarray*}$ ), einen speziellen Namen oder eine spezielle mathematische Anwendung (z.B. im Hinblick auf zyklische Gruppen, Untergitter o.ä.) haben?

In einem Buch von Conway wird ein Bezug zwischen solchen Permutationen und dem Legendre- bzw. Jacobi-Symbol aus der Zahlentheorie genannt (welches als Ergebnis von (n/m) die Signatur einer solchen Permutation $\begin{eqnarray*} \times n \pmod{m} \end{eqnarray*}$ angibt = Zolotarevs Theorem). Gibt es noch mehr solcher Zusammenhänge in denen solche Permutationen auftauchen?

Gruß

P.S. Wer den angesprochenen Abschnitt von Conway (1 Seite) nachschauen möchte, um evtl. besser zu verstehen, was gemeint ist, kann bei google books einfach nach "sensual quadratic jacobi" suchen.

11.08.2010, 17:57

Iridium

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Niemand eine Idee?

Es müsste sich jeweils um eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe handeln.

11.08.2010, 23:47

Manus

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Naja vllt nicht ganz befriedigend, aber:

Im Regelfall ist das keine Permutation, da im Fall $\begin{eqnarray*} ggT(n,m) \neq 1 \end{eqnarray*}$ keine Bijektion vorliegt.

Edit: "Im Regelfall" ist wohl etwas dämlich formuliert; besser wäre gewesen "Es handelt sich nicht immer um eine..."

Als Anwendung fällt mir spontan nur der (in meinen Augen) elementarste Beweis des Satzes von Euler-Fermat ein. Der greift genau auf eine solche Bijektion zurück.

12.08.2010, 02:00

Iridium

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Zitat:

Original von Manus
Im Regelfall ist das keine Permutation, da im Fall $\begin{eqnarray*} ggT(n,m) \neq 1 \end{eqnarray*}$ keine Bijektion vorliegt.

Ok, da war ich mal wieder nicht eindeutig genug. Meine Fragen sind dann in dem Sinne zu verstehen, daß $\begin{eqnarray*} ggT(n,m) \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt und es eine bijektive Abbildung der Menge auf sich selbst, d.h. eine Permutation gibt.

Zitat:

Original von Manus
Als Anwendung fällt mir spontan nur der (in meinen Augen) elementarste Beweis des Satzes von Euler-Fermat ein. Der greift genau auf eine solche Bijektion zurück.

Na ja, das ist doch schon mal interessant! Ich hab mal bei Wikipedia vorbeigeschaut, und kann den Beweis sogar nachvollziehen :-).

Ich dachte aber auch an Zusammenhänge, bei denen diese spezielle Sorte von Permutationen selbst im Mittelpunkt steht, d.h. irgendwelche Eigenschaften, Besonderheiten etc. dieser Permutationen aufgezeigt werden. Z.B. auch im Zusammenhang mit iterierten Abbildungen, dynamischen Systemen (bei denen ich zumindest ansatzweise schon solche Zusammenhänge selbst gefunden habe, als Fachartikel o.ä.) oder eben mit Bereichen, bei denen ich nicht mal ahne, daß es einen Zusammenhang gibt.

Sprich: jeder noch so krude, exotische oder sonstwie weit hergeholte Zusammenhang interessiert mich.

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