Verhältnis flächeninhalt Umkreis/Inkreis von Quadrat

05.08.2010, 18:44

philomat

Verhältnis flächeninhalt Umkreis/Inkreis von Quadrat

Meine Frage:
Hallo!

Habe Probleme mit einer Aufgabe die wie folgt lautet:
Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte von Umkreis und Inkreis eines Quadrates mit Seitenlänge a.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A=\pi*r^{2} \end{eqnarray*}$

Dann wäre der Flächeninhalt für den Inkreis:
$\begin{eqnarray*} A=\pi*(\frac{a}{2} ^{2}) \end{eqnarray*}$

Und der für den Umkreis wäre:
$\begin{eqnarray*} A=\pi*(\frac{\sqrt{2a^{2}}}{2} ) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann zu einem Verhältnis? Oder sind meine ersten Schritte bereits verkehrt?

05.08.2010, 18:51

riwe

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RE: Verhältnis flächeninhalt Umkreis/Inkreis von Quadrat
dividieren Augenzwinkern

bei beiden formeln dürfte das "²" überprüfungswert sein verwirrt

05.08.2010, 19:59

Alex-Peter

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RE: Verhältnis flächeninhalt Umkreis/Inkreis von Quadrat
Überlege doch mal: Gegeben ist die Seite a, dann ist doch der Radius r bekannt.
Daraus kannst Du auch den Radius R bestimmen, allgemein, wenn Du dir das blaue Dreieck genauer anschaust. Und dann bilde auch allgemein das Verhältnis der beiden Kreisflächen. Das hat Dir auch RIWE bereits angedeutet.

06.08.2010, 12:55

philomat

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ups, ja das hoch zwei ist falsch. Das r wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ und das R wäre dann so zu errechnen
$\begin{eqnarray*} r^{2}+r^{2}=R^{2} \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich doch einfach die wurzel auf beiden seiten ziehen, etwa so:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{r}{2})^{2}+(\frac{r}{2}) ^{2}}=R \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt?

06.08.2010, 13:13

riwe

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Zitat:

Original von philomat
ups, ja das hoch zwei ist falsch. Das r wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ und das R wäre dann so zu errechnen
$\begin{eqnarray*} r^{2}+r^{2}=R^{2} \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich doch einfach die wurzel auf beiden seiten ziehen, etwa so:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{r}{2})^{2}+(\frac{r}{2}) ^{2}}=R \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt?

das "²" ist nicht falsch, der ort, an dem es steht, ist falsch Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\pi*(\frac{a}{2} ^{2})\to A=\pi*(\frac{a}{2}) ^{2} \end{eqnarray*}$

und analog im 2. fall

06.08.2010, 14:09

philomat

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Also im zweiten Fall, dem Umkreis, wäre der inhalt wie folgend zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} A = \pi * (\sqrt{(\frac{r}{2})^{2}+(\frac{r}{2}) ^{2}})^{2} \end{eqnarray*}$

richtig?

06.08.2010, 15:24

riwe

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Zitat:

Original von philomat
Also im zweiten Fall, dem Umkreis, wäre der inhalt wie folgend zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} A = \pi * (\sqrt{(\frac{r}{2})^{2}+(\frac{r}{2}) ^{2}})^{2} \end{eqnarray*}$

richtig?

wie schon oben, hast du auch hier denselben fehler gemacht, und das ist dasselbe Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\pi*(\frac{\sqrt{2a^{2}}}{2} )\to A=\pi*(\frac{\sqrt{2a}}{2} ) ^2 \end{eqnarray*}$

06.08.2010, 17:28

philomat

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höö, da komm ich jetzt nicht ganz mit...
Also ich schreibe mal meine Zwischenschritte auf:
$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{eqnarray*}$

dann erstetze ich a und b durch a/2 und c durch R(Radius):
$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=R^{2} \Rightarrow \sqrt{} \end{eqnarray*}$

dann ziehe ich die wurzel auf Beiden seiten um R rein zu bekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2a^{2}}}{2} = D \end{eqnarray*}$

Dann sollte das das hoch zwei doch bleiben?

06.08.2010, 17:52

philomat

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Ist eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2a^{2}}}{2} = D \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2a^{2}}{2}} = D \end{eqnarray*}$ dasselbe?

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