Mehrfachintegral und ein Dreieck |
| 05.08.2010, 18:48 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mehrfachintegral und ein Dreieck
die nächste alte Klausuraufgabe ... und wieder ein doppeltes Integral .. Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral wobei G das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (0,1), (2,1) ist. Jo, ... Soweit ich weiss bastelt man sich die Steigungsgerade zurecht .. In diesem Fall wäre das ja (da eine Seite des Dreiecks vom Nullpunkt schräg hochgeht) 1/2x. Aber ich tu mich noch schwer damit nun die Integralgrenzen zu bestimmen. Danke
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| 05.08.2010, 20:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht um die Fläche bzw das Gebiet, welches die Gerade y=1 und y=0.5x im Intervall von x=0 bis x=2 einschließen. |
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| 05.08.2010, 21:27 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok .. seh ich gern ein :-) .. aber mir ist nicht so ganz klar wie man das abliest |
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| 05.08.2010, 21:33 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie meinst du das ? 
Man kann sich eine Sizze machen, dann sieht man es eigentlich ganz schön. |
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| 05.08.2010, 21:36 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja .... vielleicht waere es einfacher wenn ich wuesste was man da ueberhaupt ausrechnet.. das ist mir naemlich nicht so wirklich klar ... |
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| 05.08.2010, 21:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte antworte etwas präziser. Was genau ist unklar ? |
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| 05.08.2010, 21:40 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja .... ich hab da ja dieses dreieck so wie du es in deiner zeichnung so schoen hinterlegt hast. nun mach ich da irgendwas mit 2 integralen rum aber ich weiss nicht was ich da ueberhaupt ausrechne. 
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| 05.08.2010, 21:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist glaube ich Analysis 3, damit habe ich auch nicht so die Erfahrung. Ich dachte es ging zunächst nur um die Integralgrenzen. Den Rest kannst du dann z.B. hier nachschauen: http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8000/slides/folien8.pdf Innen steht hier das Intregral nach y und außen nach x (salpp formuliert). |
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| 05.08.2010, 21:59 | hamlax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm ... soweit ich weiss muessen wir das auch nur integrieren koennen ... aber es waere hilfreich fuer mich wenn ich weiss was ich da eigentlich mache
... aber gut dann muss ich das so hinkriegen .. 0 <= x <= 2 heisst das ich die gesamte x strecke mitnehme mit einem integral .. aber mit den grenzen 1 <= y <= 0.5x bin ich noch nicht so ganz gruen ... |
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| 05.08.2010, 22:14 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja das ist jetzt eben Integration im Mehrdimensionalen. In der Schule geht es immer nur um eindimensionale Integrale, mit welchen man z.B. Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse berechnet. Bei einem zweidimensionalen Integral wie hier geht es dann offebar um das Volumen, welches man in einem gegebem Gebiet G (also nicht mehr Intervall wie im Eindimensionalen) berechnet. Dazu braucht man dann eben nicht nur den Bereich auf der x-Achse, sondern auch den entsprechenden Bereich auf der y-Achse für die Integralgrenzen, also demnach ein Integral pro Dimension von G. |
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| 06.08.2010, 09:01 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man den Graphen der Funktion zeichnet, dann gibt das eine Fläche im 3D-Anschauungsraum. Man berechnet mit dem Integral das Volumen von dem Körper, der als Grundfläche dieses Dreieck hat und als Deckfläche den Funktionsgraphen. Also ganz analog zum Eindimensionalen. Das Volumen des Definitionsgebietes [hier also die Dreiecksfläche] kriegt man, wenn man die Funktion über das Dreieck integriert. |
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| 06.08.2010, 09:33 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anschaulich kann man das Flächenintegral wie folgt interpretieren: Man stellt sich vor, dass das Dreieck unregelmäßig mit Farbe bestrichen wird, so dass die Dichte der Farbe auf der Fläche gerade beträgt. Dann ist das Flächenintegral gerade die Gesamtmasse dieser unregelmäig aufgetragenen Farbe. Zur Berechnung folgendes: Sieh dir das Dreieck in der Skizze von Bjoern1982 nochmal an an. Schneide dieses Dreieck in Gedanken in differenziell dünne Streifen der Höhe dy, die parallel zur x-Achse liegen. Die linke Grenze eines solchen Streiefens liegt bei x=0, die rechte Grenze liegt bei x=2y. Diese rechte Grenze folgt durch Umstellen der Geradengleichung y=0,5x, welche die linke Begrenzung des Dreieckes bildet. Nun wählt man sich einen beliebigen Streifen aus und berechnet die "Masse der Farbe" auf so einem Streifen __________(1) Das ist das "innere Integral" über einen einzigen Streifen. Wir haben aber unendlich viele Streifen und müssen die einzelen Integrale in einem "äußeren Integral" aufzummieren. Der unterste Streifen liegt auf der Höhe y=0, der oberste Streifen liegt auf der Höhe y=1. Also __________(2) Das Prizip bei solchen Flächenintegralen besteht also immer darin, das Integrationsgebiet optimal in gewisse Streifen zu zerlegen. Dann kann man die Integrationsgrenzen leicht finden. |
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