Grenzwertberechnung

05.08.2010, 19:23

nix plan

Grenzwertberechnung

Meine Frage:
Hallo
Ich soll den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}+5^{n}} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Leider habe ich gar keine Ahnung wie ich das anstellen soll.
Ich weiß das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ = 1 ist. Das war es aber auch schon.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Danke im voraus

05.08.2010, 20:30

corvus

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von nix plan

Ich soll den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}+5^{n}} \end{eqnarray*}$ berechnen.

und was meinst du dazu?:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = 5\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{2}{5} \right) ^{n}+\left(\frac{3}{5} \right) ^{n}+1} \end{eqnarray*}$

verwirrt

05.08.2010, 22:06

hamlax

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@corvus ..

wenn du da die 5 ausklammerst, muss dann nicht 2^n/5 da stehen anstatt von (2/5)^n ?

Und wenn du die 5 dann rausziehst aus der Wurzel, ist das dann nicht n-te Wurzel aus 5 mal diesen anderen Ausdruck ?? Oder irre ich mich ganz gewaltig ??

05.08.2010, 22:16

Bjoern1982

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Er hat nicht 5 sondern $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{5^n}=5 \end{eqnarray*}$

05.08.2010, 22:20

hamlax

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Uhmm. Nach welcher rechenregel hat er das denn gemacht ??

05.08.2010, 22:22

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{5^n}=(5^n)^{\frac{1}{n}}=5^{n\cdot \frac{1}{n}}=5 \end{eqnarray*}$

05.08.2010, 22:25

hamlax

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Ja das is klar. Ich mein das ausklammern und die Brüche die dann rauskommen.

05.08.2010, 22:27

Bjoern1982

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Wenn 5^n ausgeklammert wird muss jeder Summand unter der Wurzel durch 5^n dividiert werden und a^n/b^n ist nach den Potenzgesetzen (a/b)^n

05.08.2010, 22:30

hamlax

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Genau dieses Gesetz war entfallen smile

05.08.2010, 22:34

Bjoern1982

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Als kleine Zusatzüberlegung könnte man auch nochmal darüber nachdenken warum hier nicht willkürlich ausgeklammert wurde, sprich warum gerade 5^n ausgeklammert wurde smile

05.08.2010, 22:37

hamlax

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Damit der ganze andere schmunz gegen 0 geht und nur noch die 1 stehen bleibt. Und das geht dann gegen 1. Damit die gesamte Folge gegen 5 oder net ??

05.08.2010, 22:40

Bjoern1982

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Genau oder andersrum formuliert, wenn man nicht durch die Potenz mit der größten Basis dividiert entstehen Potenzen, die divergieren (siehe z.B. auch bei der Konvergenz der geometrischen Reihe) und damit führt das Ganze dann zu nichts.

06.08.2010, 08:24

nix plan

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oha so einfach kann es sein.
vor allem wenn man weiß das es konvergiert.
gestern Nacht hab ich es wohl aber nicht mehr geschafft die Funktion richtig in Matlab zu tippen und dachte somit das die Funktion divergiert.

Vielen Dank für den Tipp

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