Verhältnis-Aufgabe

05.08.2010, 21:24	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Verhältnis-Aufgabe Also die Aufgabe aus dem anderen Thread finde ich interessant und wollte sie auch mal löse. ^^ Die Aufgabe sieht wie folgt aus : Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte von Umkreis und Inkreis eines Quadrates mit Seitenlänge a. Also generell gehe ich so vor, dass ich die beiden Flächeninhalte $\begin{eqnarray} A_I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_U \end{eqnarray}$ berechne und dann diese beiden durcheinander teile. Allgemein der Flächeninhalt eines Kreises : $\begin{eqnarray} A = \pi \cdot r^2 \end{eqnarray}$ Inkreis : $\begin{eqnarray} r = \frac{a}{2} \Rightarrow A_I = \pi \cdot ( \frac{a}{2} )^2 = \frac{\pi \cdot a^2}{4} \end{eqnarray}$ Umkreis : Um hier r zu berechnen, benutze ich den Satz eines Mannes, der selber maximal so berühmt ist wie sein Satz. $\begin{eqnarray} r^2 = ( \frac{a}{2} )^2 + ( \frac{a}{2} )^2 = 2 \cdot ( \frac{a}{2} )^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A_U = \pi \cdot ( \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} )^2 = \pi \cdot \frac{2a^2}{4} = \frac{\pi \cdot 2a^2}{4} \end{eqnarray}$ Und nun zum Schluss noch $\begin{eqnarray} A_I : A_U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \frac{\pi \cdot a^2}{4} ) : ( \frac{\pi \cdot 2a^2}{4} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{\pi \cdot a^2}{4} \cdot \frac{4}{\pi \cdot 2a^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Man hätte ja vorher auch chon sehen können, dass der Faktor wohl 2 oder 1/2 sein wird, als man sich die beiden Flächeninhalte angesehen hat oder? Also das heißt ja dann nun, der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises und umgekehrt halt halb so groß.
06.08.2010, 08:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hätte man schon sehen können, vor allem wenn man schreibt $\begin{eqnarray} A_U=\frac{\pi\cdot2a^2}{4}=2\frac{\pi a^2}{4}=2A_I \end{eqnarray}$ .
06.08.2010, 18:38	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm , schade , ging viel zu schnell.

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