Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung

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Chiara Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung
Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Ich muss die Formel für den Erwartungswert beweisen. Mit partieller Integration komme ich zu

Um jetzt zu zeigen, dass dies wirklich die Stammfunktion von ist, muss ich
ableiten.

Meine Ideen:
Ich hab die Produktregel angewendet. Für den Term muss ich ja aber zunächst die Kettenregel anwenden. Als Ableitung dafür habe ich erhalten.
Die Anwendung der Produktregel ergibt dann:

Ich habe hin und her aufgelöst, aber komme einfach nicht auf die richtige Lösung.
Nach dem Ausklammern von habe ich Folgendes erhalten:


Liegt hier der Fehler (z.B. in den Vorzeichen, war mir etwas unsicher) oder schon vorher?
Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Streng genommen steckt natürlich eine Grenzwertbetrachtung dahinter:



Hierbei wird und die bekannte Tatsache verwendet, daß exponentielles Wachstum polynomiales schlägt.
 
 
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich, hab den Beweis auch gemacht, aber das alles der Einfachheit halber weggelassen. Ich soll eben noch zeigen, dass die Stammfunktion, die ich beim Auflösen des Ursprungsintegrals mithilfe der partiellen Integration erhalten habe, die richtige ist, bevor ich zu der Grenzwertbetrachtung komme.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist gar nicht nötig, eine Stammfunktion zu ermitteln, wenn man gleich eine bestimmte Integration ausführt. Aber wenn es denn sein muß: Mein CAS liefert



Und wenn man jetzt noch mit durchmultipliziert, ist das genau dein Ergebnis.

Anscheinend willst du das durch Ableiten überprüfen. Was soll dann aber das unverständliche bedeuten? Die Klammer bei dir enthält einen linearen Ausdruck, die Ableitung davon ist 1.
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, kenn mich mit der Formatierung noch nicht so aus. Das x soll ein ganz normales x sein, hab das wohl falsch ausgewählt.
Mein Prof will, dass ich diese Überprüfung an der Stelle mache unglücklich Das hat mit dem eigentlichen Beweis eigentlich nichts zu tun, soll nur zeigen, dass ich davor alles richtig gemacht hab. Es geht quasi nur ums Ableiten (hätte das vllt in einen anderen Themenbereich schreiben sollen?)
Verstehe jetzt leider das was du geschrieben hast nicht so richtig...
Ich will "einfach" ableiten und da muss dann raus kommen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung
Zitat:
Original von Chiara
Für den Term muss ich ja aber zunächst die Kettenregel anwenden. Als Ableitung dafür habe ich erhalten.

Das ist falsch. (Vorzeichen)
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Ableitung von wieder ?
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das jetzt geändert und komme wieder nur auf und nicht auf traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mal deine Rechenschritte detailliert hinschreibst, dann könnte man auch sagen, wo du einen Fehler machst.
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Nach Einsetzen in die Formel für die Produktregel ergibt sich:

Jetzt klammer ich aus. Ergibt:

Weiter erhalte ich dann:


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chiara
Also: Nach Einsetzen in die Formel für die Produktregel ergibt sich:


Wie kommst du auf dieses ? verwirrt

Da steht 1 / lambda und nicht 1/x, und das lambda ist eine Konstante.
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, stimmt. Ich habs einfach wie ein x behandelt und abgeleitet. Wie dumm von mir Big Laugh
Das heißt also es fällt weg und die Ableitung von ist gleich 1+ (-1), also 0? Oder wie macht man das in dem Fall?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chiara
Das heißt also es fällt weg und die Ableitung von ist gleich 1+ (-1), also 0?

Nein. Was ist denn die Ableitung, wenn lambda = 1 oder = 2 oder = 3 ist?
Merkst du was?
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

1? smile
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich dachte mir dass ja gleich ist und deswegen müsste doch die Ableitung dann minus 1 sein? Oder ist sie doch einfach nur lambda?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es immer noch nicht gemerkt. Nochmal: das lambda bzw das 1/lambda ist eine Konstante. Und was passiert mit Konstanten beim Ableiten?
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Sie fallen weg, also ist die Ableitung von einfach nur 1. Hab mich da irgendwie total verhaspelt und dachte dann, dass es nicht wegfällt, sondern anstelle dessen ne eins hinkommt. Aber so passt es auch und ich komme am Ende endlich aufs richtige Ergebnis! Dankeschön!!
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