Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung

06.08.2010, 11:52

Chiara

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Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Ich muss die Formel für den Erwartungswert beweisen. Mit partieller Integration komme ich zu
$\begin{eqnarray*} - e^{-\lambda x}\left(x+ \frac{1}{\lambda } \right) \end{eqnarray*}$
Um jetzt zu zeigen, dass dies wirklich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \times \lambda e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ ist, muss ich
$\begin{eqnarray*} - e^{-\lambda x}\left(x+ \frac{1}{\lambda } \right) \end{eqnarray*}$ ableiten.

Meine Ideen:
Ich hab die Produktregel angewendet. Für den Term $\begin{eqnarray*} - e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ muss ich ja aber zunächst die Kettenregel anwenden. Als Ableitung dafür habe ich $\begin{eqnarray*} - \lambda e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ erhalten.
Die Anwendung der Produktregel ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} - \lambda e^{- \lambda x} \cdot \left(\times + \frac{1}{\lambda } \right)+ \left(- e^{- \lambda x} \right)\cdot \left(1- \frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$
Ich habe hin und her aufgelöst, aber komme einfach nicht auf die richtige Lösung.
Nach dem Ausklammern von $\begin{eqnarray*} - e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ habe ich Folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} e^{- \lambda x}\left(- \lambda \left(x+ \frac{1}{\lambda } \right)- \left(1- \frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \right) \end{eqnarray*}$
Liegt hier der Fehler (z.B. in den Vorzeichen, war mir etwas unsicher) oder schon vorher?
Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!!

06.08.2010, 12:04

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x \operatorname{e}^{- \lambda x}~\dd x = \left. - \frac{1}{\lambda} \, x \operatorname{e}^{- \lambda x} \, \right|_0^{\infty} + \frac{1}{\lambda} \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{- \lambda x}~\dd x = \frac{1}{\lambda} \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{- \lambda x}~\dd x \end{eqnarray*}$

Streng genommen steckt natürlich eine Grenzwertbetrachtung dahinter:

$\begin{eqnarray*} \left. - \frac{1}{\lambda} \, x \operatorname{e}^{- \lambda x} \, \right|_0^R = - \frac{1}{\lambda} \, R \operatorname{e}^{- \lambda R} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ R \to \infty \end{eqnarray*}$

Hierbei wird $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ und die bekannte Tatsache verwendet, daß exponentielles Wachstum polynomiales schlägt.

06.08.2010, 12:24

Chiara

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Das weiß ich, hab den Beweis auch gemacht, aber das alles der Einfachheit halber weggelassen. Ich soll eben noch zeigen, dass die Stammfunktion, die ich beim Auflösen des Ursprungsintegrals mithilfe der partiellen Integration erhalten habe, die richtige ist, bevor ich zu der Grenzwertbetrachtung komme.

06.08.2010, 12:41

Leopold

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Es ist gar nicht nötig, eine Stammfunktion zu ermitteln, wenn man gleich eine bestimmte Integration ausführt. Aber wenn es denn sein muß: Mein CAS liefert

$\begin{eqnarray*} \int x \operatorname{e}^{-\lambda x}~\dd x = - \frac{1}{\lambda^2} \left( 1 + \lambda x \right) \operatorname{e}^{- \lambda x} = - \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{x}{\lambda} \right) \operatorname{e}^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt noch mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ durchmultipliziert, ist das genau dein Ergebnis.

Anscheinend willst du das durch Ableiten überprüfen. Was soll dann aber das unverständliche $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ bedeuten? Die Klammer bei dir enthält einen linearen Ausdruck, die Ableitung davon ist 1.

06.08.2010, 14:52

Chiara

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Sorry, kenn mich mit der Formatierung noch nicht so aus. Das x soll ein ganz normales x sein, hab das wohl falsch ausgewählt.
Mein Prof will, dass ich diese Überprüfung an der Stelle mache unglücklich

unglücklich

Das hat mit dem eigentlichen Beweis eigentlich nichts zu tun, soll nur zeigen, dass ich davor alles richtig gemacht hab. Es geht quasi nur ums Ableiten (hätte das vllt in einen anderen Themenbereich schreiben sollen?)
Verstehe jetzt leider das was du geschrieben hast nicht so richtig...
Ich will "einfach" $\begin{eqnarray*} - e^{-\lambda x}\left(x+ \frac{1}{\lambda } \right) \end{eqnarray*}$ ableiten und da muss dann $\begin{eqnarray*} x\lambda e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ raus kommen.

06.08.2010, 14:57

klarsoweit

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RE: Beweis Erwartungswert Exponentialverteilung - Kontrolle durch Ableitung

Zitat:

Original von Chiara
Für den Term $\begin{eqnarray*} - e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ muss ich ja aber zunächst die Kettenregel anwenden. Als Ableitung dafür habe ich $\begin{eqnarray*} - \lambda e^{- \lambda x} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Das ist falsch. (Vorzeichen)

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06.08.2010, 15:03

Chiara

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Also ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} -e^{x} \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} -e^{x} \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2010, 15:15

Chiara

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Hab das jetzt geändert und komme wieder nur auf $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x}\left(\lambda x- \lambda ^{2} \right) \end{eqnarray*}$ und nicht auf $\begin{eqnarray*} x\lambda e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ traurig

traurig

06.08.2010, 15:22

klarsoweit

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Wenn du mal deine Rechenschritte detailliert hinschreibst, dann könnte man auch sagen, wo du einen Fehler machst.

06.08.2010, 16:37

Chiara

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Also: Nach Einsetzen in die Formel für die Produktregel ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda e^{-\lambda x} \right)\cdot \left(x+ \frac{1}{\lambda } \right)+ \left(-e^{-\lambda x} \right)\left(1-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$
Jetzt klammer ich $\begin{eqnarray*} \left(e^{-\lambda x} \right) \end{eqnarray*}$ aus. Ergibt:
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x}\left(\lambda \left(x+ \frac{1}{\lambda } \right)-\left(1-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \right) \end{eqnarray*}$
Weiter erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x}\left(\lambda x+ 1-1-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x}\left(\lambda x-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda x}\left(\lambda x-\lambda^{2} \right) \end{eqnarray*}$

06.08.2010, 18:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Chiara
Also: Nach Einsetzen in die Formel für die Produktregel ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda e^{-\lambda x} \right)\cdot \left(x+ \frac{1}{\lambda } \right)+ \left(-e^{-\lambda x} \right)\left(1-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf dieses $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{\lambda ^{2} } \right) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Da steht 1 / lambda und nicht 1/x, und das lambda ist eine Konstante.

06.08.2010, 19:51

Chiara

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Oh je, stimmt. Ich habs einfach wie ein x behandelt und abgeleitet. Wie dumm von mir Big Laugh

Big Laugh

Das heißt also es fällt weg und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x+ \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ ist gleich 1+ (-1), also 0? Oder wie macht man das in dem Fall?

07.08.2010, 15:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Chiara
Das heißt also es fällt weg und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x+ \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ ist gleich 1+ (-1), also 0?

Nein. Was ist denn die Ableitung, wenn lambda = 1 oder = 2 oder = 3 ist?
Merkst du was?

07.08.2010, 21:10

Chiara

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1?

smile

07.08.2010, 21:32

Chiara

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Nein, ich dachte mir dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ ja gleich $\begin{eqnarray*} \lambda ^{-1} \end{eqnarray*}$ ist und deswegen müsste doch die Ableitung dann minus 1 sein? Oder ist sie doch einfach nur lambda?

08.08.2010, 11:17

klarsoweit

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Du hast es immer noch nicht gemerkt. Nochmal: das lambda bzw das 1/lambda ist eine Konstante. Und was passiert mit Konstanten beim Ableiten?

08.08.2010, 14:52

Chiara

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Sie fallen weg, also ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x+ \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ einfach nur 1. Hab mich da irgendwie total verhaspelt und dachte dann, dass es nicht wegfällt, sondern anstelle dessen ne eins hinkommt. Aber so passt es auch und ich komme am Ende endlich aufs richtige Ergebnis! Dankeschön!!

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