"Benachbarte" rationale Zahlen

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Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
"Benachbarte" rationale Zahlen
Hi,

Folgende Frage hat das Potential zu zeigen, daß ich mich in obskuren mathematischen Bereichen evtl. besser auskenne, als im Allereinfachsten...mal schauen...

Und zwar stellte ich mir die Frage, was zu einer gegebenen rationalen Zahl, z.B. der Form 1/n, die für einen jeweils gegebenen Zähler 1,2,3,... am nächsten liegende rationale Zahl ist? Mir ist dann das abgebildete Schema eingefallen, in dem man die gegebene rationale Zahl sukzessive um 2/2, 3/3, 4/4,... erweitert und jeweils die benachbarten rationalen Zahlen 1/(n+1) bzw. 1/(n-1) usw. betrachtet.

Meine Fragen dazu sind:

1) Ist das wirklich eine Methode, um die Frage eindeutig zu beantworten?

2) Sind dann die auf den beiden Kurven liegenden rationalen Zahlen der Form a/(a n+1) bzw. a/(a n-1) jeweils die für einen gegebenen Zähler a am nächsten benachbarten?

3) Sofern 1) und 2) zutreffen, gilt das auch noch, wenn man vom allgemeinen Fall m/n ausgeht und dasselbe Verfahren anwendet (also sozusagen 1/n als Beispiel wählt ohne Beschränkung der Allgemeinheit)?

4) Kennt man das Ganze vielleicht schon? (so ähnlich wie z.B. die systematische Auflistung der rationalen Zahlen als Farey-Sequenzen?).

Vielleicht stehe ich auch nur auf dem Schlauch und es gibt triviale Gründe, warum das alles a) trivial oder b) falsch ist :-)...

Gruß

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Gruß, Gualtiero
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein, dass ich an deiner Frage vorbei antworte, aber man kann zu einer gegebenen rationalen Zahl keine Zahl angeben, sodass minimal ist, da es immer eine weitere Zahl gibt mit . Oder zielt deine Frage auf etwas anderes ab?
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das weiß ich. Aber meine zusätzliche Bedingung wäre ja, daß man den Zähler nicht frei wählen darf, sondern vorgibt. Gilt das dann auch noch?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "Zähler vorgibt"? Du gibst mir eine Zahl und willst, dass ich dazu eine rationale Zahl mit kleinstem Abstand finde?
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz...ich gebe dir eine rationale Zahl 1/n (bzw. in der erweiterten Form a/(a n) ) und suche die rationale Zahl mit gleichem Zähler 1 bzw. a, die am nächsten benachbart ist. Und dasselbe dann für den Fall m/n, sofern es im ersten Fall geht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nich 100%ig sicher, aber mit der Aussage, dass dicht in liegt, würde ich deine Vermutung verneinen.
 
 
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Ich bin mir nich 100%ig sicher, aber mit der Aussage, dass dicht in liegt, würde ich deine Vermutung verneinen.


Eben deswegen frag ich...ich bin mir nämlich auch nicht sicher...vielleicht stolpert ja noch jemand drüber, der uns beide aufklären kann bzw. entscheiden kann, wer richtig liegt.

Trotzdem haben deine Kommentare geholfen, die Frage zu präzisieren, denke ich. Danke dafür.

Gruß
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal an, dass die gesuchte "nächste" Zahl auch wieder von der Form sein soll, also nur natürliche Zahlen im Nenner zugelassen sind, oder? Ansonsten wäre das mit dicht in ein Einzeiler.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nocheinmal genau nachfragen:
Also du hast eine rationale Zahl vorgegeben, zb . Nun suchst du ein derart, dass minimal ist, wobei man frei wählen darf?

Dann wähle .
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten entweder n=m-1 oder n=m+1 wenn du jetzt gleich n=m ausschließt
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

@Gualtiero

Danke für den Tipp, das erleichtert es...(war mir nicht bewusst)

@iorek

Ja, nur natürliche Zahlen, sonst ist natürlich klar, daß es für jede gewählte Zahl noch eine gibt, die näher dran ist.

@system-agent & kiste

Ja, n = m schließe ich aus, denn ich will ja eine "benachbarte" Zahl, und nicht die Ausgangszahl, das wäre ja trivial, dann bräuchte man kein entsprechendes Schema.

Eine Frage wäre, ob es unter diesen Bedingungen (alle Brüche in einer Reihe haben denselben Zähler, n nicht gleich m) so ist, daß das abgebildete Schema systematisch alle Möglichkeiten erfasst (als Zahlen 1/(n+1) und 1/(n-1) bzw. erweitert um a, a/(a n +1) und a/(a n -1) ). So ähnlich wie die Farey-Sequenzen eine vollständige und systematische Auflistung der rationalen Zahlen liefern)

So komisch es sich vielleicht für einen Mathematiker anhört, im Grunde geht es um die Annäherung einer rationalen Zahl an eine andere, vorgegebene rationale Zahl, eben unter der Randbedingung, daß der Abstand beliebig klein, aber nicht Null werden darf, die rationalen Zahlen also nicht beide gleich sind...und dann um die systematische Erfassung aller Fälle...

Die Frage ist, ob das im allgemeinen Fall mit der gewählten Methode auch geht, denn dann habe ich als Ausgangsbruch sowas wie m/n und nach Erweiterung sowas wie a m/(a n), aber nicht wie im Fall des Ausgangsbruchs 1/n Brüche mit allen natürlichen Zahlen (sukzessive) als Zähler.
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand mehr eine Idee/Kommentar dazu?

Das von Gualtiero in der Voransicht sichtbar gemachte Bild war vielleicht nicht jedem bewusst vorher?
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