Grenzwert von Funktionen (Textbeispiel)

06.08.2010, 19:07

xxmaxx

Grenzwert von Funktionen (Textbeispiel)

Hi @ all,

ich hab hier eine Aufgabe zu lösen und versteh leider nicht wie ich hier vorgehen muss.

Beispiel:

Ein Kondensator mit der Kapatität C wird auf die Spannung U aufgeladen. Zum Zeitpunkt t= 0s beginnt die Entladung des Kondensators. Für die Entladestomstärke gilt:

i=U/R *e^(-t/RC) , t>=0s. Zeige dass die gesamte abfließende Ladung gleich der Anfangsladung Q=C*U ist.

Als Ergebnis soll hier C*U rauskommen. Leider hab ich keine Ahnung wie ich hier voregehn muss.

thx schonmal.

06.08.2010, 19:29

Mathewolf

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RE: grenzwert von Funktionen textbeispiel
Nun, I(t) ist dir gegeben. Nun ist

$\begin{eqnarray*} Q=\int\limits_{t_1}^{t_2}I(t)\,dt \end{eqnarray*}$

Jetzt überleg dir, über welches Intervall du zu integrieren hast, um die Gesamtladung zu erhalten und werte dann das Integral aus.

07.08.2010, 15:53

xxmaxx

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hmm leider is das ganze jetzt schon 2 jahre her. Muss jetzt eine damals nicht bestandene prüfung nachholen und ich hab wirklich keinen plan. Bis zu diesem Beispiel haben wir nicht integriert. Kann man das auch anders lösen? Auch auf meinem TI bekomm ich nur immer ein undefiniert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{U}{R}*e^{-\frac{t}{RC} } \, dt \end{eqnarray*}$

07.08.2010, 16:16

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC} } \, \dd t \end{eqnarray*}$

ist richtig.

Du gibst wahrscheinlich irgendwas in den Taschenrechner falsch ein. Ein Tipp: Leg den Taschenrechner kurz beiseite und löse das Integral von Hand, das ist wirklich nicht schwer.

07.08.2010, 16:43

xxmaxx

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Hmm zuerst mal das ganze integrieren dann bekomm ich raus:

$\begin{eqnarray*} -c*e^{-t/(r*c)}*u \end{eqnarray*}$

Jetzt für t einmal 0 eingesetzt ergibt:

-c*u

Und wie ist das jetzt mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

07.08.2010, 17:00

Q-fLaDeN

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Die Stammfunktion ist doch schonmal richtig.

Du solltest etwas an deinem Aufschrieb arbeiten, du kommst damit anscheinend schon selbst durcheinander.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC} } \, \dd t = \lim_{u \to \infty}~\left[-C \cdot U \cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]_0^u \end{eqnarray*}$

Das war der Anfang, nun mach mal selbst weiter. Obere Grenze, untere Grenze, voneinander abziehen und Grenzwert berechnen, fertig.

07.08.2010, 17:43

xxmaxx

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hmm ich glaub ich gebs auf. wieso u gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Dachte t gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Könntest du mir vl die lösung sagen. vl kapier ichs ja dann.

07.08.2010, 17:57

stereo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Die Stammfunktion ist doch schonmal richtig.

Du solltest etwas an deinem Aufschrieb arbeiten, du kommst damit anscheinend schon selbst durcheinander.

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC} } \, \dd t = \lim_{u \to \infty}~\left[-C \cdot U \cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]_0^u \end{eqnarray*}$

Das war der Anfang, nun mach mal selbst weiter. Obere Grenze, untere Grenze, voneinander abziehen und Grenzwert berechnen, fertig.

Hier hat Q-fLaDeN dass mathematisch korrekt geschrieben, da er eine Weile nichtmehr schreibt helf ich dir mal weiter.

Also wenn du das Integral einfach mal ganz formal auswertest erhälst du folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{U}{R} \cdot e^{-\frac{t}{RC} } \, \dd t = \left[-C \cdot U \cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right]_0^\infty \end{eqnarray*}$

Das wird so aber nicht in der Mathematik geschrieben, da Unendlich keine Zahl ist. Falls du mehr darüber wissen willst, musst du mal "uneigentliche Riemann-Integrale" suchen. Deswegen drückt man das Unendlich mit einer Variabla aus (bei Q-fLaDeN ist das u) und schickt diese gegen unendlich - ich hoffe dir ist klar, dass das u keine physikalische Größe ist.

Für die obere Grenze erhälst du also folgendes:

$\begin{eqnarray*} -C \cdot U \cdot e^{-\frac{\infty}{RC}} = \lim_{u \to \infty} -C \cdot U \cdot e^{-\frac{u}{RC}} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte dir die Notation klar sein. Was passiert denn mit der e-Funktion wenn du das u gegen unendlich schickst? Die untere Grenze sollte kein Problem darstellen, weil du dort nur einsetzt.

07.08.2010, 18:13

xxmaxx

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Ok die Notation ist mir jetzt klar. Das wusste ich nicht dass man das so ausdrückt. Was mit der e Funktion passiert kann ich aber nicht sagen :-(

07.08.2010, 18:15

stereo

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$\begin{eqnarray*} e^{-x} = \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Was die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ im unendlichen macht kann man sich jetzt aber denken.

07.08.2010, 18:29

xxmaxx

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Hmm hab auf das minus nicht geachtet. Jetzt ises mir klar. So kompliziert u doch so einfach :-)

Vielen dank auch :-)

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