Ebene und Gerade -> Lage zueinander

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05.11.2006, 17:12	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene und Gerade -> Lage zueinander So, hab gerade ein Problem bei folgender Aufgabe... ich hab eine Gerade und eine Eben gegeben und soll nun die Lage zueinander bestimmen. $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Ebene: $\begin{eqnarray} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun hab ich beides erstmal gleichgesetzt um den Schnittpunkt zu errechnen, also hab ich nun folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus krieg ich dann ja 3 Gleichungen: $\begin{eqnarray} 4r-s-2\lambda = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2s- \lambda = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r+s-3\lambda = 0 \end{eqnarray}$ aber wie rechne ich da denn nun weiter? Was muss ich als nächstes machen?
05.11.2006, 17:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Daniela Versuche doch mal in der letzten Gleichung durch entsprechende Äquivalenzumformungen das r und s zu eliminieren. Kriegst du das hin ? Gruß Björn
05.11.2006, 17:46	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
so, hab nun lambda, r und s ausgerechnet... hab da irgendwie merkwürdige Zahlen für rausbekommen... $\begin{eqnarray} \lambda = - \frac{2}{29} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s= \frac{27}{58} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = - \frac{39}{58} \end{eqnarray}$ kann das angehen??
05.11.2006, 17:49	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
hab gerade gesehen, dass das nicht angehen kann... hab lambda, r und s mal in die Gleichungen eingesetzt... hmmm... muss ich was falsch gemacht haben
05.11.2006, 18:10	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
gibt mir jemand einen Tipp? liebguck
05.11.2006, 18:24	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
hab lambda, r und s nun raus Und müsste richtig sein... $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s = \frac{3}{5} \end{eqnarray}$ r = 0 wie muss ich nun weiter vorgehen?
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05.11.2006, 18:24	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn du so lieb guckst Also ich komme auf einigermaßen glatte Werte. Ich habe erst die erste Gleichung minus 4 mal die dritte Gleichung gerechnet. Danach habe ich 5 mal die zweite plus 2 mal die dritte Gleichung gerechnet. Durch Einsetzen kam ich auf r=0 s=0,6 lambda= 0,2 Gruß Björn
05.11.2006, 18:26	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
na das nenn ich mal Timing Beide zur gleichen Zeit die werte, und dann auch noch die gleichen
05.11.2006, 18:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, genau...was ein Zufall Dadurch, dass du nun genau eine Lösung für r,s und lambda rausbekommen hast, ist bewiesen, dass sich die Gerade g und die Ebene E schneiden. Durch Einsetzen von lambda in die Geradengleichung erhälst du somit den Ortsvektor zum Durchstoßpunkt. Gruß Björn
05.11.2006, 18:43	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt da dann folgendes für raus? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,4 \\ 1,2 \\ 0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.11.2006, 19:01	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und da der Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt dieselben Koordinaten besitzt wie der Punkt selbst, folgt, dass der Schnittpunkt S (0,4 \| 1,2 \| 0,6 ) lautet. Und damit hast du es geschafft Gruß Björn
05.11.2006, 19:03	Daniela87	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, das war aber auch ne schwierige Geburt hehe Ich danke dir für deine Hilfe!!! Schönen Abend noch =)
05.11.2006, 19:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, wünsch ich dir auch
14.12.2006, 21:08	brownisevil	Auf diesen Beitrag antworten »
hätte mal ne Frage dazu... könnte ich nciht einfach die Ebenengleichung und Koordinatenform umwandeln und die x1,x2 und x3 werte der geradengleichung in die Ebenenkoordiantenform einsetzen...? danke für eure Hifle
14.12.2006, 21:24	brownisevil	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hat sich erledigt habs nachgerechnet und es hat gefunzt danke trotzdem

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