Kurvendiskussion

07.08.2010, 13:37

Alfomatico

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Kurvendiskussion

Edit (mY+): Thementitel verfehlt! Analysis ist alles hier in diesem Sektor! Geändert.

Meine Frage:
Hallo,

gleich nach den Sommerferien haben wir (kurz) die Integralberechnung erklärt gekriegt und dann eine Aufgabe gekriegt die lautet:

Für jedes $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion ft gegeben durch ft(x) = $\begin{eqnarray*} tx^{3} + 3tx^{2} + 4tx ; x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Kt ist das Schaubild von ft.

Schaubild per Plotter hier: klick mich

Info zum Bild: Die Kurve ist auf dem Blatt als K1 dargestellt

a)Untersuche Sie Kt auf Schnittpunkte mit der x-Achse. Zeigen Sie: Kt hat keinen Punkt mit waagrechter Tangente

b)Die Gerade $\begin{eqnarray*} g: y = x -1 \end{eqnarray*}$ ist Tangente an K1. Bestimmen Sie den Berührpunkt auf K1.

$\begin{eqnarray*} B(u |ft(u)) \end{eqnarray*}$ liegt auf Kt.
Bestimmen Sie ohne weitere Rechnung die Koordinaten eines Punktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ so, dass die Tangente $\begin{eqnarray*} Kt \end{eqnarray*}$ , druch den Punkt $\begin{eqnarray*} A (1|0) \end{eqnarray*}$ verläuft.

Meine Ideen:
Die einzige Idee die ich hätte wäre zu dem Schnittpunkt der X-Achse. Und zwar da sie durch den Ursprung verläuft also $\begin{eqnarray*} X=0 ; Y=0 \end{eqnarray*}$

Mehr weiß ich leider nicht.

Hoffe ich konnte mich präzise ausdrücken.

07.08.2010, 13:40

Iorek

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Die Integralrechnung brauchst du für diese Aufgabe eigentlich nicht, das ist eine Kurvendiskussion einer Funktionsschar.

Was heißt es, wenn eine Funktion einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat, wie lautet die Bedingung dafür?

07.08.2010, 13:47

Alfomatico91

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Analysis
Hatte eben stress mit der anmeldung

Ich wusste es "mal", kann mich aber gerade nicht daran errinern um ehrlich zu sein ...

07.08.2010, 13:47

Iorek

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Welchen y-Wert muss die Funktion haben, um die x-Achse zu schneiden? smile

smile

07.08.2010, 13:49

Alfomatico91

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... y= 0 *peinlich* Big Laugh

Big Laugh

07.08.2010, 13:49

Iorek

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Genau. Also machen wir was mit der Funktionsvorschrift um die Nullstellen zu berechnen?

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07.08.2010, 13:53

Alfomatico91

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ich hätte jetzt gesagt in die p-q Formel, aber wir haben ja eine Funktion 3.Grades .... Forum Kloppe

Forum Kloppe

ich glaub die Ferien haben mir nicht gut getan...stehe total auf dem Schlauch

07.08.2010, 13:54

Iorek

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Erstmal setzen wir die Funktion 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danach sehen wir, dass es sich um eine Funktion 3. Grades handelt, allerdings könntest du mal mit dem Distributivgesetz arbeiten.

07.08.2010, 13:58

Alfomatico91

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wie soll man da das Distributivgesetz anwenden? Ist doch in der Funktion 3.Grades alles mit einem $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ versehen. Und ich hab das Erklärungsblatt (mit den Gesetzen) vor mir wo es nur mit Multiplikation dargestellt wird. Und gelernt habe ich das nur mit Multiplikation.

07.08.2010, 13:59

Iorek

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Es gibt zwei Richtungen beim Distributivgesetz, hier musst du ausklammern.

07.08.2010, 14:00

Alfomatico91

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also das T ausklammern? Oder ist das irrelevant?

edit1: halt stop, denkfehler

edit2: Heute mit dem falschen Fuß aufgestanden ...mir fällts nicht ein ... >.<

07.08.2010, 14:03

Iorek

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Das t kannst du ausklammern (solltest du sogar), es geht aber noch mehr.

07.08.2010, 14:04

Alfomatico91

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hmm dann war ich doch net so verkehrt ...aber wo mehr? Ich sehe nichts wo man mehr ausklammern könnte

07.08.2010, 14:05

Iorek

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Nehmen wir das t raus: $\begin{eqnarray*} f_t(x)=t(x^3+3x^2+4x) \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du in der Klammer nochmal ausklammern.

07.08.2010, 14:08

Alfomatico91

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Würde jetzt "sagen" : $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

07.08.2010, 14:09

Iorek

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Ja, ein x kann man noch ausklammern, also insgesamt klammern wir $\begin{eqnarray*} tx \end{eqnarray*}$ aus, was erhalten wir dann?

07.08.2010, 14:10

Alfomatico91

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$\begin{eqnarray*} f_t(x)=t(x^3+3x^2+4x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=tx (x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$

und dann kann man die p-q Formel benutzen. Oder?

07.08.2010, 14:11

Iorek

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Ja, jetzt hat man 2 Faktoren da stehen und kann jeden Faktor einzeln betrachten (Satz vom Nullprodukt).

07.08.2010, 14:21

Alfomatico91

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also habe jetzt nun stehen

$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{(\frac{3}{2} )^2 -4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{\frac{9}{4} -4 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{\frac{-7}{4} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Keine Loesung \end{eqnarray*}$

Hab ich was übersehen/ falsch gemacht?

07.08.2010, 14:22

Iorek

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Nein, das stimmt schon alles, was kannst du jetzt also über die Nullstellen sagen?

07.08.2010, 14:24

Alfomatico91

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sie existiert nicht?

07.08.2010, 14:25

Iorek

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Doch, es gibt Nullstellen: $\begin{eqnarray*} f(x)=tx\cdot(x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$ . Ein Produkt ist 0, wenn...

07.08.2010, 14:27

Alfomatico91

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alle anderen faktoren auch null sind...?
tschuldige für meine Matheschwäche

07.08.2010, 14:28

Iorek

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Nein, es reicht schon wenn ein Faktor null ist. Den einen Faktor hast du überprüft, dafür gibt es keine Nullstellen, wie sieht es mit dem zweiten Faktor aus?

07.08.2010, 14:31

Alfomatico91

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ich weiß ehrlich gesagt nicht welcher der zweite Faktor ist... unglücklich

unglücklich

07.08.2010, 14:32

Iorek

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$\begin{eqnarray*} f(x)=tx\cdot(x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$ , zwei Faktoren smile

smile

07.08.2010, 14:37

Alfomatico91

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will mich nicht lächerlich machen, aber ich verstehe immernoch net ... Hammer

Hammer

07.08.2010, 14:39

Iorek

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\underbrace{tx}_{\text{1. Faktor}}\cdot\underbrace{(x^2+3x+4)}_{\text{2. Faktor}} \end{eqnarray*}$

07.08.2010, 14:42

Alfomatico91

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LOL Hammer

okey ... echt nicht mein tag, sowas zu übersehen.

mit $\begin{eqnarray*} f_t(x) = tx \left[...\right] \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht was ich jetz damit machen soll ...

07.08.2010, 14:45

Iorek

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Wir sind immer noch dabei, die Nullstellen der Funktion zu bestimmen. Den zweiten Faktor haben wir untersucht, der erste Faktor fehlt noch.

07.08.2010, 14:49

Alfomatico91

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also wenn der zweite faktor keine lösung hat, würd ich das als 0 verstehen und dementsprechend kann der 1.Faktor so groß sein wie er will, da 0 * 0 = 0.

(Ich weiß, dass auch 0 eine Lösung ist, nur jedoch in dem Fall hier wüsste ich jetzt nichts anderes)

somit ist $\begin{eqnarray*} f_t(x) = tx * 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 0 \end{eqnarray*}$

07.08.2010, 14:56

Iorek

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Nein, $\begin{eqnarray*} f_t(x)=tx\cdot(x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$ , das ist unsere Funktion. Schreiben wir das mal formal auf:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=0 \Leftrightarrow tx=0~\text{oder}~x^2+3x+4=0 \end{eqnarray*}$

Wir haben den zweiten Teil schon untersucht und keine Nullstellen erhalten. Betrachten wir den ersten Teil: $\begin{eqnarray*} tx=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ , da in der Aufgabe schon steht, dass t nicht null sein darf. Also haben wir insgesamt eine Nullstelle, nämlich für x=0.

07.08.2010, 14:59

Alfomatico91

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kurze frage vorher: Was bedeutet der linksrechts pfeiL?

07.08.2010, 15:00

Iorek

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Das ist ein Äquivalenzpfeil.

07.08.2010, 15:09

Alfomatico91

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also alles zusammengefasst:

1. $\begin{eqnarray*} f_t(x)=tx^{3} + 3tx^{2} + 4tx \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f_t(x)=t(x^3+3x^2+4x) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} f_t(x)=tx (x^2+3x+4) \end{eqnarray*}$

4. P-Q Formel:

$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{(\frac{3}{2} )^2 -4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{\frac{9}{4} -4 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 / 2 = \frac{1}{2} +/- \sqrt{\frac{-7}{4} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Keine Loesung \end{eqnarray*}$

5. $\begin{eqnarray*} tx=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

alles richtig soweit?

07.08.2010, 15:19

Iorek

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Ja, für die Berechnung der Nullstellen stimmt das soweit.

07.08.2010, 15:23

Alfomatico91

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nun soll man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ keinen Punkt mit waagerechter Tangente hat.

Den Schnittpunkt haben wir $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ , bzw. y= 0 (wegen der Bedingung) --> S(0 | 0). Somit kann man den als Punkt betrachten. Aber wie soll man nun beweisen, bzw. zeigen das dieser keinen Punkt mit der waagerechten Tangente hat?

Das einzige was ich Begründen könnte, wäre der Hinweis zu der Grafik (Plotter). Mathematische Beweise wüsste ich nicht.

07.08.2010, 15:31

Iorek

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Was hat denn der Schnittpunkt mit der x-Achse damit zu tun? Und was heißt

Zitat:

Original von Alfomatico91
Aber wie soll man nun beweisen, bzw. zeigen das dieser keinen Punkt mit der waagerechten Tangente hat?

verwirrt

Was bedeutet es, wenn der Graph eine waagerechte Tangente hat? (Tipp: Ableitung)

07.08.2010, 15:39

Alfomatico91

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Aus #1 Comment:
a)Untersuche Sie Kt auf Schnittpunkte mit der x-Achse. Zeigen Sie: Kt hat keinen Punkt mit waagrechter Tangente

-----------------------

1.x ist doch gleich 0 ( $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ )
und das ist doch auch zugleich der Schnittpunkt mit der X-Achse. Durch die Bedingung, das $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss hab ich mir dann daraus hergeleitet, dass der Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S = S ( 0 | 0 ) \end{eqnarray*}$ ist.

2.eine Waagerechte Tangente hat die Steigung $\begin{eqnarray*} m = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man die Funktionsvorschrift ableiten würde, würde es für mich lauten:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)'= 3tx^2 + 6tx + 4 \end{eqnarray*}$

Aber was würde mir das helfen?

07.08.2010, 15:49

Iorek

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Ok, also redest du von 2 verschiedenen Punkten, dann ist alles klar.

Welcher Zusammenhang besteht denn zwischen der ersten Ableitung und der Steigung der Tangenten an dem Graphen in einem Punkt?

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