lineare abbildung - Eigenraum bestimmen

07.08.2010, 17:39

Caroline1986

lineare abbildung - Eigenraum bestimmen

hallo,

ich übe gerade, eigenräume/eigenwerte und alles was damit zusammenhängt, auszurechnen, und bin dabei auf ein problem gestoßen. folgende aufgabe (aus einer alten klausur meiner uni) bereitet mir kopfzerbrechen:

Zitat:

Seien V,W n-dim. K-VR, $\begin{eqnarray*} \phi: V->W \end{eqnarray*}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray*} \phi(v_i)=w_{i+1},\phi(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen sie
1)die Abbildungsmatrix,
2)das charakteristische polynom,
3)das minimalpolynom,
4)die eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sowie
5)die zu den eigenwerten gehörigen Eigenräume.

so, im normalfall, wenn eine konkrete matrix oder lineare abbildung gegeben ist, ist das ja kein problem, aber hier bin ich mir nicht so ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe.

zunächst habe ich mir überlegt, da ja durch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der i-te basisvektor von V auf den i+1 -ten Basisvektor von W abgebildet wird, und da in der abbildungsmatrix (nach unserer konvention) die bilder der basisvektoren von V als linearkombination der basisvektoren von W in den spalten stehen, würde meine matrix im prinzip so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0 & 0 \\\ . & . & . & ... & . & . & . \\ . & . & . & ... & . & . & . \\ . & . & . & ... & . & . & .\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die matrix ist erkennbar.

zur 2)
kann ich das ganze nun als begleitmatrix eines charakteristischen polynoms interpretieren? Dann wäre das charakterische polynom direkt ablesbar, und es wäre $\begin{eqnarray*} X^n \end{eqnarray*}$ .

zur 3)
da das minimalpolynom ja ein teiler des charakteristischen polynoms ist, und die selben nullstelle wie es hat, muss es ja ebenfalls $\begin{eqnarray*} X^n \end{eqnarray*}$ sein.

zur 4)
der einzige eigenwert müsste somit dann 0 sein.

zur 5)
Eigenraum zum eigenwert 0 ist ja der Kern meiner abbildung, und (falls ich die abbildungsmatrix richtig aufstellt habe) $\begin{eqnarray*} \lambda_1...\lambda_{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_n \end{eqnarray*}$ müsste ja somit frei wählbar sein, also wäre der eigenraum span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

ich bin mir ziemlich unsicher, ob ich diese aufgabe richtig bearbeitet habe, und ob ich die gesamte thematik, die mit den Eigenräumen zusammenhängt, richtig verstanden habe, deshalb wäre es super, wenn ihr einen blick hierauf werfen könntet.

vielen dank schonmal im voraus.

lg,
caro

07.08.2010, 17:43

Iorek

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Sollte soweit alles richtig sein, allerdings solltest du vllt. noch eine kleine Begründung angeben, wieso das Minimalpolynom ebenfalls $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ist, andere Möglichkeiten wären ja z.B. auch kleinere Potenzen von x, diese sind ebenfalls Teiler des charakt. Polynoms und haben offensichtlich die selben Nullstellen.

07.08.2010, 17:58

Caroline1986

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danke iorek,

wieder einmal hast du mir sehr geholfen.

zum minimalpolynom: könnte man so argumentieren, dass erst nach n-facher ausführung die matrix zur kompletten nullmatrix wird?

caro

07.08.2010, 18:06

Iorek

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Ich würde das davon abhängig machen, was in der Aufgabe genau gefragt war (zählt nur das Ergebnis oder auch der Rechenweg?) und was ihr schon besprochen habt.

08.08.2010, 08:38

Caroline1986

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Es war nur nach dem ergebnis gefragt.

zum minimalpolynom hatten wir im prinzip nur, dass es die 3 eigenschaften hat:

-matrix eingesetzt ins minimalpolynom ergibt die nullmatrix
- teiler des char. polynoms
- enthält die gleichen nullstellen wie das char. polynom

zur expliziten berechnung hatten wir immer nur die erste eigenschaft benutzt(dabei natürlich auch die anderen beiden beachtet)

08.08.2010, 09:42

jester.

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Ein Großteil der Aufgabe macht im Übrigen nur dann Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ , da man charakteristisches Polynom, Minimalpolynom und vor allem Eigenwerte und -räume nur für Endomorphismen von Vektorräumen definiert. Hast du die Aufgabenstellung richtig abgeschrieben?

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