int(1/x,x) ist gleich ln(abs(x)), weshalb?

07.08.2010, 19:10

mzh

int(1/x,x) ist gleich ln(abs(x)), weshalb?

Meine Frage:
Hallo zusammen
In meinem Formelbuch (Formeln und Tafeln) steht, dass $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|) \end{eqnarray*}$ ist. Woher kommt der Betrag?

Meine Ideen:
Es hat wohl damit zu tun, dass der ln einer negativen Zahl nicht definiert ist. Aber deutlich verstehe ich das trotzdem nicht.

07.08.2010, 19:23

Iorek

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RE: int(1/x,x) ist gleich ln(abs(x)), weshalb?

Zitat:

Original von mzh
Es hat wohl damit zu tun, dass der ln einer negativen Zahl nicht definiert ist.

Genau das ist aber die Begründung. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1x \end{eqnarray*}$ hat als maximalen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ , also auch die negativen reellen Zahlen. Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, also muss zusätzlich noch der Betrag genutzt werden.

07.08.2010, 19:51

Huggy

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RE: int(1/x,x) ist gleich ln(abs(x)), weshalb?
Etwas ausführlicher:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}dx=??? \end{eqnarray*}$ für x < 0

Die Substitution y = -x ergibt

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}dx= \int (-\frac{1}{y})(-dy)=\int \frac{1}{y}dy=\ln y \end{eqnarray*}$

da ja y >0. Nach der Rücksubstitution hat man daher:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx=\ln {(-x)} \end{eqnarray*}$ für x < 0.

und die beiden Geleichungen

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx = \ln x \end{eqnarray*}$ für x > 0

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx = \ln {(-x)} \end{eqnarray*}$ für x < 0

lasssen sich zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx = \ln {|x|} \end{eqnarray*}$

07.08.2010, 21:33

wisili

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RE: int(1/x,x) ist gleich ln(abs(x)), weshalb?
Was die Integrationskonstanten betrifft, ist es sogar so:

Stammfunktionen F von f(x) = 1/x lassen sich darstellen als

$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{cases} ln(x) + c_1, & \text{wenn } x>0,<br /> ln(-x) + c_2, & \text{wenn } x<0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei c1 und c2 beliebige reelle Zahlen sind.

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