Intergral mittels Substitution

07.08.2010, 20:42

mrburns

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Intergral mittels Substitution

Hallo, ich scheitere an diesem Integral, welcher durch die Substitution von $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{3x+4} \end{eqnarray*}$ ermittelt werden soll.
Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich bin bis hierhin gekommen:

$\begin{eqnarray*} dz=z' dx \Leftrightarrow dz=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}} dx \Leftrightarrow dx= \frac{2z}{3} dz \end{eqnarray*}$

Jetzt dx ersetzen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(x+3)2z}{z*3} \, dz \Leftrightarrow \int_a^b \! \frac{(x+3)2}{3} \, dz \Leftrightarrow \frac{2(x+3)z}{3} \Leftrightarrow \frac{2(x+3)\sqrt{3x+4}}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig integriert??

07.08.2010, 21:25

corvus

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RE: Intergral mittels Substitution

Zitat:

Original von mrburns

Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich bin bis hierhin gekommen:

Jetzt dx ersetzen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(x+3)2z}{z*3} \, dz \Leftrightarrow \int_a^b \! \frac{(x+3)2}{3} \, dz \Leftrightarrow \frac{2(x+3)z}{3} \Leftrightarrow \frac{2(x+3)\sqrt{3x+4}}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig integriert??

..nein

1) das x, das im Zähler des Integranden steht, ist doch auch noch durch z auszudrücken

2) die Grenzen solltest du auch auf die neue Variable umschreiben

versuch es also nochmal:...

07.08.2010, 21:36

mrburns

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Die Grenzen werde ich noch ändern, mir gehts momentan nur ums integrieren.
Und wie kann ich das x mit z ausdrücken. zwischen x+3 und sqrt(3x+4) gibt es keinen erkennbaren zusammenhang. normalerweise ist der Rest, hier ist es x+3, ein vielfaches der ableitung von sqrt(3x+4)

07.08.2010, 21:48

corvus

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Zitat:

Original von mrburns
Die Grenzen werde ich noch ändern, mir gehts momentan nur ums integrieren.
(also lass doch einfach die Grenzen erstmal ganz weg
und suche zunächst nur das unbestimmte Integral)

Und wie kann ich das x mit z ausdrücken. zwischen x+3 und sqrt(3x+4)
gibt es keinen erkennbaren zusammenhang. geschockt

geschockt

du solltest doch (bei deiner Substitution) alles auf die neue Variable z umschreiben?

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{3x+4} \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} z^2 =3x+4 \end{eqnarray*}$ smile

smile

wie gross ist dann x .. ausgedrückt durch z ?
und was bekommst du dann, wenn x+3 auf z umgeschrieben wird?

also : wie machst du nun weiter verwirrt

verwirrt

->...

08.08.2010, 11:11

klarsoweit

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RE: Intergral mittels Substitution
Warum wird nicht die einfachere Substitution z = 3x + 4 genommen? verwirrt

verwirrt

08.08.2010, 12:57

corvus

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RE: Intergral mittels Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Warum wird nicht die einfachere Substitution z = 3x + 4 genommen? Freude

Freude

.. da gibt es doch viele Gründe, also klarsoweit, denke halt zur Abwechslung mal kreativ:

- weil dann hoffentlich einer kommt und andeutet,
.. dass es mit z=3x+4 klar.. einfacher gehen könnte..

- aber: warum denn einfach, wenn es auch anders geht..

- weil die Ableitung vom Wurzelterm geübt werden soll ..

- schlicht, weil es mit z=sqrt(3x+4) auch geht .. smile

smile

- weil .....

und weil es der Aufgabensteller möglicherweise so verlangt.. siehe:

Zitat:

Original von mrburns
Hallo, ich scheitere an diesem Integral, welcher
durch die Substitution von $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{3x+4} \end{eqnarray*}$ ermittelt werden soll.

...................................................... Wink

Wink

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08.08.2010, 13:27

mrburns

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na gut, ich habe versucht, was ihr gesagt habt.
AUsgangssituation ist diese Stelle, wo ich (x+3) niht verarbeitet habe:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(x+3)2z}{z*3} \, dz \end{eqnarray*}$
Nachdem $\begin{eqnarray*} z^2=3x+4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{z^2-4}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(\frac{z^2-4}{3}+3)2z}{z*3} \, dz \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(\frac{z^2+5}{3})2z}{z*3} \, dz \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(z^2+5)2z}{z*9} \, dz \end{eqnarray*}$

Gibt es bis hierhin was auszusetzen?

08.08.2010, 14:47

corvus

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Zitat:

Original von mrburns
-> $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{(z^2+5)2z}{z*9} \, dz \end{eqnarray*}$

Gibt es bis hierhin was auszusetzen? smile

smile

wenn du meinst.. -> also ja:

1) du solltest doch ohne Grenzen arbeiten ..

2) ein konstanter Faktor (hier:2/9) kommt vor das Integral ..

3) du hast dann noch versäumt, den Integranden durch Kürzen zu vereinfachen ..

.. und wie gedenkst du jetzt weiterzumachen ? -> ...?
.

08.08.2010, 15:29

mrburns

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Weiter gehts mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} \int \! z^2+5 \, dz =\frac{2}{9}\left[\frac{z^3}{3}+5z\right] \end{eqnarray*}$
Aber wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left(\frac{(3x+4)^\frac{3}{2}}{3}+5\sqrt{3x+4}\right) \end{eqnarray*}$ ableite, so komm ich nicht zur Ausgangsfunktion.

08.08.2010, 18:21

mrburns

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Habt ihr mich aufgegebn?

08.08.2010, 19:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von mrburns
Aber wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left(\frac{(3x+4)^\frac{3}{2}}{3}+5\sqrt{3x+4}\right) \end{eqnarray*}$ ableite, so komm ich nicht zur Ausgangsfunktion.

Aber ich. Die Stammfunktion ist also ok. Du mußt dich bei der Ableitung verrechnet haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.08.2010, 20:22

mrburns

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Stimmt, hab ich jetzt auch raus. Übrigens diese Methode lernt man nicht überall. Hab ich zum ersten mal angewandt. vielen Dank.

08.08.2010, 20:43

corvus

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Zitat:

Original von mrburns
Übrigens diese Methode lernt man nicht überall.
Hab ich zum ersten mal angewandt.

dann wende doch übungshalber gleich zum zweiten Mal .. smile

smile

diesmal mit der Substitution, die klarsoweit dir empfohlen hat

und wieder solltest du dann natürlich das Gleiche, also dieses Ergebnis erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx = \frac{2}{27} \cdot \left(3x+19\right)\cdot \sqrt{3x+4} + c \end{eqnarray*}$

.

09.08.2010, 16:07

mrburns

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ich komme bis $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\int \! \frac{(z-4)}{2\sqrt{z}} \, dz \end{eqnarray*}$
soll ich noch eine Substitution durchführen? 1/2sqrt(z) ist ja die ableitung von sqrt(z)

ABer ich habe noch eine Frage zur ersten Lösung. Wenn zu Beginn die Granzen 4:0 waren, so sind die neuen Grenzen doch 4:2
Die fläche unter f(x) im inervall ist dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left(\frac{8-\sqrt{8}}{3}+10\right) \end{eqnarray*}$ Kann das jemand bestätigen. Ich muss das Ergebnis als bruch darstellen, jedoch bereitet mir die wurzel viele schwierigkeiten.

09.08.2010, 16:58

corvus

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Zitat:

Original von mrburns
ich komme bis

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\int \! \frac{(z-4)}{2\sqrt{z}} \, dz \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

.. das ist aber nicht das, was du bekommst, wenn du zur Lösung von

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx \end{eqnarray*}$
die Substitution z=3x+4 verwendest..
aber klarsoweit .. der wird dir da sicher weiterhelfen ..
und dir dann auch verraten, dass man das (dann richtige) Integral
einfach summandenweise erledigt .. ohne Substitutionen oder so..

Zitat:

Wenn zu Beginn die Granzen 4:0 waren, verwirrt

verwirrt

also, 4:0 ist ein Fussballergebnis , zB wenn gegen Argentinien gespielt wird ..
und was willst du hier denn mit 4:0 gewinnen? .. Grenzen verwirrt

verwirrt

ach ja: falls du bei deinem Schluss-Ergebnis die Re-Substitution gemacht hast,
dann gelten doch da wieder die alten Grenzen - oder?
.

09.08.2010, 17:09

mrburns

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$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx \end{eqnarray*}$
ist das selbe wie

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left[\frac{z^3}{3}+5z\right]_2^4 \end{eqnarray*}$

09.08.2010, 17:18

corvus

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Zitat:

Original von mrburns

ist das selbe wie

Freude

ok .. und wo ist da dein Problem? .. das Selbe oder dasselbe oder wie? smile

smile

09.08.2010, 17:29

mrburns

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ich habe das hier rausbekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left(\frac{8-\sqrt{8}}{3}+10\right) \end{eqnarray*}$
Nur das ist eine Wurzel im Ergebnis. Dh ich kann das Ergebnis nicht als reinen bruch darstellen.

09.08.2010, 21:37

corvus

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Zitat:

Original von mrburns

$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx \end{eqnarray*}$

ist das selbe wie

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left[\frac{z^3}{3}+5z\right]_2^4 \end{eqnarray*}$

ich habe das hier rausbekommen

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}\left(\frac{8-\sqrt{8}}{3}+10\right) \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

wie - um Himmelswillen - hast du denn das gemacht??

also , es ist doch

$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{x+3}{\sqrt{3x+4}} \, dx =\frac{2}{9}\left[\frac{z^3}{3}+5z\right]_2^4 = \frac{2}{9}\left[\frac{4^3}{3}+5\cdot 4\right]- \frac{2}{9}\left[\frac{2^3}{3}+5\cdot 2\right] = ? \end{eqnarray*}$

und wo, bitte, siehst du da irgendeine Wurzel ..wenn du das noch ausrechnest?

also, was gibt es dann -> ..?

10.08.2010, 15:26

mrburns

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Hab zum schluss ausversehen mit der Wurzel gerechnet- Hammer

Hammer

LOL Hammer

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