Stetigkeit, Grenzwert

07.08.2010, 23:18

mathinitus

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Stetigkeit, Grenzwert

Hallo, mich beschäftigt folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{xy^3}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Existiert ein Grenzwert, wenn wir uns dem Ursprung nähern? Wenn ja warum, wenn nein, warum nicht. Also ich habe schon versucht hier verschiedene Folgen für x und y abzuschätzen, aber keine bringt mich weiter. Eins ist jedoch klar. Wenn der Grenzwert existiert, ist er 0.

Wisst ihr weiter?

07.08.2010, 23:53

giles

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RE: Stetigkeit, Grenzwert

Zitat:

Original von mathinitus
Eins ist jedoch klar. Wenn der Grenzwert existiert, ist er 0.

verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^3}{(x^2+y^2)^2}=\frac{xy^3}{x^4+2x^2 y^2 + y^4} = \frac{1}{\frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}} \end{eqnarray*}$

Wähle eine Folge
$\begin{eqnarray*} \vec{a}_n = (a_n , a_n) \end{eqnarray*}$ und schon geht hier nix gegen 0 smile

smile

08.08.2010, 01:17

Equester

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Ich weiß zwar nicht, wie du das mit Folge meinst?
Aber bei uns ist es so :P
Teile durch die höchste Potenz -> Und die ist für x -> $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ und
für y -> $\begin{eqnarray*} y^{4} \end{eqnarray*}$

Beide höchste Potenzen stehen im Nenner, demnach strebt es für
x mit $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ und y mit $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ nach 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.08.2010, 01:49

gonnabphd

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Hi mathinitus,

Das mag schon sein. Es geht aber dem Fragesteller um $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \end{eqnarray*}$ .

Gruss. Wink

Wink

08.08.2010, 13:01

Equester

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---

08.08.2010, 13:27

giles

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Zitat:

Original von Equester
Ah, das hatte ich überlesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dem ist aber auch hier so.
Deine Funktion strebt auch hier gegen 0.
Für x=0 und y ungleich 0 (oder anders rum) haben wir 0.
Demnach muss für x=0 und y=0 der Grenzwert 0 sein.
(x und y dürfen ja nicht gleichzeitig 0 sein!)

Ich hab doch weiter oben gezeigt, dass für Folgen die entlang der $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ Linie gegen 0 laufen der Grenzwert nicht 0 ist.

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08.08.2010, 13:34

Equester

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Sry, wurde aus deinen Rechnungen nicht ganz schlau.
Du hattest nur behauptet, aber nichts gezeigt? Oder?

Kannst du mir dein Weg nochmals erklären?

Edit:
Ich habs grad nochmals in ein Matheprogramm eingespeist.
Für x,y=0 ist der Grenzwert 0?!
Oder hab ich mich vertippt?

08.08.2010, 14:06

giles

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Zitat:

Du hattest nur behauptet, aber nichts gezeigt? Oder?

Ich dachte es wäre evident ab hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^3}{(x^2+y^2)^2}=\frac{xy^3}{x^4+2x^2 y^2 + y^4} = \frac{1}{\frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}} \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} x=y=a_n \end{eqnarray*}$ und schon ist alles konstant $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Für x=y=0 ist die Funktion nicht definiert, da kann auch ein Matheprogramm nichts machen. In manchen Gebieten der Mathematik wird $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} := 0 \end{eqnarray*}$ definiert, aber das kann man hier ja nicht als gegeben hinnehmen, besonders da explizit nach der Existenz eines Grenzwertes gefragt ist, welcher nur existiert wenn er in jeder Richtung gleich ist.

08.08.2010, 14:10

mathinitus

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RE: Stetigkeit, Grenzwert

Zitat:

Original von giles

Zitat:

Original von mathinitus
Eins ist jedoch klar. Wenn der Grenzwert existiert, ist er 0.

verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^3}{(x^2+y^2)^2}=\frac{xy^3}{x^4+2x^2 y^2 + y^4} = \frac{1}{\frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}} \end{eqnarray*}$

Wähle eine Folge
$\begin{eqnarray*} \vec{a}_n = (a_n , a_n) \end{eqnarray*}$ und schon geht hier nix gegen 0 smile

smile

Also hier sehe ich den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Dennoch behalte ich recht mit meiner Aussage "Wenn der Grenzwert existiert, ist er 0." Nur er scheint eben nicht zu existieren. Ich habe nämlich die Folge $\begin{eqnarray*} (0,n^{-1}) \end{eqnarray*}$
betrachtet. Hier kommt 0 als Grenzwert raus. Gibt es auch eine Folge, die unseren Term gegen unendlich streben lässt?

08.08.2010, 14:12

Equester

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Ahh, jetzt versteh ich. Sry hatte nen Denkfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

Freude

08.08.2010, 14:29

giles

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RE: Stetigkeit, Grenzwert

Zitat:

Original von mathinitus
Dennoch behalte ich recht mit meiner Aussage "Wenn der Grenzwert existiert, ist er 0." Nur er scheint eben nicht zu existieren.

Stimmt auch. War halt spät als ich meinen Post gemacht hab smile

smile

Zitat:

Gibt es auch eine Folge, die unseren Term gegen unendlich streben lässt?

Ich denke nicht, dazu müsste ja
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \to 0 \end{eqnarray*}$

aber für Nullfolgen kann nur entweder $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen und der jeweilige Kehrwert divergiert dann automatisch.

08.08.2010, 14:34

mathinitus

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Okay danke. Wenn wir nun die Menge aller möglichen Grenzwerte von diesen Folgen betrachten, muss diese aber ein Supremum haben. Ist das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

08.08.2010, 14:42

giles

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Hm, aus dem Bauch heraus und mit Betrachtung eines hoch-gesampleten Plot würde ich sagen ja. Formal bewiesen hab ich das aber noch nicht. Ist das nächster Teil der Aufgabe oder pure Neugier? smile

smile

08.08.2010, 14:52

tmo

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Da schon gezeigt wurde, dass, wenn x und y in verschiedenen Größernordnungen gegen 0 gehen, der Grenzwert 0 ist, reicht es ja hierzu den Fall y=mx zu betrachten.

Dann ergibt sich als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{m^3}{(m^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wann das am größten wird, ist ja schnell bestimmt.

08.08.2010, 15:04

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Da schon gezeigt wurde, dass, wenn x und y in verschiedenen Größernordnungen gegen 0 gehen, der Grenzwert 0 ist, reicht es ja hierzu den Fall y=mx zu betrachten.

Dann ergibt sich als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{m^3}{(m^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

Wann das am größten wird, ist ja schnell bestimmt.

Hier hätten wir ein Maximum für $\begin{eqnarray*} m=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{16}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

08.08.2010, 15:07

mathinitus

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Zitat:

Original von giles
Hm, aus dem Bauch heraus und mit Betrachtung eines hoch-gesampleten Plot würde ich sagen ja. Formal bewiesen hab ich das aber noch nicht. Ist das nächster Teil der Aufgabe oder pure Neugier? smile

smile

Die komplette Aufgabe ist Neugier und von mir erdacht.

08.08.2010, 15:19

mathinitus

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RE: Stetigkeit, Grenzwert

Zitat:

Original von giles
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{y^3}+2\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \to 0 \end{eqnarray*}$
aber für Nullfolgen kann nur entweder $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen und der jeweilige Kehrwert divergiert dann automatisch.

Jeder für sicher vielleicht schon, aber vielleicht könnten die sich auch geschickt wegheben.

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