Taylorpolynom

08.08.2010, 12:51

mso321

Taylorpolynom

Aufgabe:
Bestimmen Sie das Taylorpolynom T(x) zweiten Grades der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x0 =1. \end{eqnarray*}$

f(1)=1, f'(1) = 1/3, f''(1)=-(2/9).

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} T(x) = 1 +\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Nur wie komme ich von dem Ergebnis nun weiter zu:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9}((x-1)-\frac{3}{2})^{2}+-\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

08.08.2010, 14:30

mathinitus

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RE: Taylorpolynom

Zitat:

Original von mso321
f(1)=1, f'(1) = 1/3, f''(1)=-(2/9).

Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} T(x) = 1 +\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x) = 1 +\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^{2}=\frac{1}{9}(-x^2+5x+5) \end{eqnarray*}$

08.08.2010, 16:54

mso321

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Ich kann den Rechenweg nicht nachvollziehen. Nach was fuer einer Regel machst Du das?

Ich hab einfach alles ausmultipliziert und dann wieder zusammengesetzt. Dann komme ich aber nicht auf das Endergebnis, wender auf dein Teilergebnis, noch auf das Finale.

Ich hab zuerst von:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

mir den Teil hier geschnappt:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

da wird dann wenn ich das ausmultipliziere oder die binomische Formel nehme, das hier draus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9}(x^2-2x+2) \end{eqnarray*}$

als naechstes hab ich die anderen Teile in neuntel umgewandelt, damit ich diese dann zusammenziehen kann.

Ist dieser Ansatz vielleicht schon der Falsche?

08.08.2010, 18:09

mathinitus

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Zitat:

Original von mso321
mir den Teil hier geschnappt:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

da wird dann wenn ich das ausmultipliziere oder die binomische Formel nehme, das hier draus:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9}(x^2-2x+2) \end{eqnarray*}$

Da scheint das Problem zu liegen.

08.08.2010, 23:10

mso321

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warum? darf ich das nicht ueber die binomische Formel machen? Die Verkettung durch das multiplizieren bleibt doch erhalten

08.08.2010, 23:32

mathinitus

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Zitat:

Original von mso321
warum? darf ich das nicht ueber die binomische Formel machen? Die Verkettung durch das multiplizieren bleibt doch erhalten

Doch, nur scheint bei dir $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=1 \end{eqnarray*}$ zu sein.

08.08.2010, 23:37

gonnabphd

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Hi,

Du hast rechts eine 2 stehen (x²-2x+2), weshalb?

Und ausserdem finde ich den Ansatz einfach alles auszumultiplizieren recht umständlich.

Besser man substituiert $\begin{eqnarray*} z:=(x-1) \end{eqnarray*}$ und bekommt dann

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^2 = 1+\frac{1}{3}z-\frac{1}{9}z^2 \end{eqnarray*}$

und macht den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9}(z+a)^2 + b = 1+\frac{1}{3}z-\frac{1}{9}z^2 \end{eqnarray*}$

und substituiert dann anschliessend wieder zurück.

Gruss. Wink

08.08.2010, 23:47

mso321

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Hey,
das mit der mit der Substitution ist ne schoene Idee, gefaellt mir, nur da muss ich auch drauf kommen in der Klausur.

Hatte oben mit -1 -1 wohl + gerechnet sodass ich auf 2 gekomme bin. Nach der Binomischen Formel muss dies natuerlich 1 sein *zwinker*.

... und das soll dann wirklich zu dem Ergebnis von oben fuehren?
Ich will nicht ausschliessen, dass ich mich verrechnet habe, beim ausmultiplizieren,
aber selbst wenn ich dies richtig rechne, habe ich zum Schluss ja Zahlen wie:

x^2+3x+2 da stehen ... (rein fiktiver Term jetzt)

... wie komme ich auf die Term Form in der Musterloesung (siehe Ausgangsposting ganz oben)
- und vor allem warum sollte Dieser so aussehen. Das wirkt mir mehr wie ne Taylorpolynom Ziel-Vorgabe-Form oder so was ... . Gibt es da Vorschriften wie der Term auszusehen hat?

09.08.2010, 02:12

gonnabphd

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Zitat:

- und vor allem warum sollte Dieser so aussehen. Das wirkt mir mehr wie ne Taylorpolynom Ziel-Vorgabe-Form oder so was ... . Gibt es da Vorschriften wie der Term auszusehen hat?

Eine Standardform wäre mir nicht bekannt und ich würde persönlich auch

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

hinschreiben...

Ein Taylorpolynom hat ja eigentlich auch die Form (ohne Restglied)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

was genau der obigen Form entspricht. Ich hab auch keine Ahnung, was es bringen würde, deine Lösung nochmal umzuformen (ausmutlitplizieren würde ich ja noch verstehen...)

Vielleicht sieht ja jemand anderes hier den Grund dazu.

Gruss. smile

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