Offene Mengen / Abbildungen

08.08.2010, 15:19

KlausKI

Offene Mengen / Abbildungen

Hallo,

ich sitze vor einer aufgabe und weiß nicht weiter:

Seien X, Y normierte Vektorräume, Sei f: Def(X) -> Y eine stetige Abbildung.

Zu Zeigen: Wenn H (Teilmenge von Y) offen ist, muss auch f^-1 (H) offen sein (wobei f^-1 die Umkehrfunktion ist).

_______________________________________________________________

Ich dachte mir das ich mir ein Element aus H nehme und zeige dass das zugehörige abgebildete in Def(X) liegt. und das ein Element aus Y \ H nicht in Def(X) liegen kann aufgrund der stetigkeit.

Ist das die richtige idee?

gruß

Klaus

08.08.2010, 15:38

Tarnfara

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RE: Offene Mengen / Abbildungen
Hallo, eigentlich folgt die Aussage doch unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit.

Wie habt ihr denn Stetigkeit definiert und was genau ist Def(X), nicht einfach nur eine Teilmenge von X ?

Grüße

08.08.2010, 16:05

KlausKI

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: ) also das war meine erste idee, aber dann kann man da doch nix beweisen ...

mir ist ein fehler unterlaufen: anstatt Def(X) muss es Def(f) heißen (der Definitionsbereich von f über X )

also die stetigkeit war über die Epsilon-Delta umgebungen definitiert:

|| f(x) - f(x0) || < eps ... || x - x0 || < delta

gruß

KlausKi

08.08.2010, 16:45

Tarnfara

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Zitat:

Original von KlausKI

|| f(x) - f(x0) || < eps ... || x - x0 || < delta

Hm ? Ich habe den Eindruck, dass dir nicht ganz klar ist, was hier gemeint ist:

Sei a ein Punkt aus Def(f), dann gilt f stetig in a, genau dann wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für beliebige x aus X folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} ||x-a||_X < \delta(\epsilon) \Rightarrow ||f(x) - f(a)||_Y < \epsilon \end{eqnarray*}$

Diese Aussage kann man natürlich auch durch entsprechende Kugeln ausdrücken.

Nun überlege, was offen bedeutet (Dabei sollte dir irgendwas mit Epsilonumgebungen, Kugeln, inneren Punkten o.ä. einfallen) und versuche, aus der gegebenen Definition die gewünschte Eigenschaft herzuleiten.

08.08.2010, 21:53

KlausKi

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nun die aussage bedeutet doch in worten: Wenn die Differenz zwischen einem x aus X und a beschränkt ist, muss auch die Differenz zwischen deren Bildern beschränkt sein.

offen bedeutet bei einer Menge (z.b. Kreisscheibe) das der Rand nicht dazugehört.

ich muss doch jetzt versuchen zu zeigen: Wenn H (Teilmenge von Y) offen ist, muss auch f^-1 (H) offen sein.

kann man da annehmen das H abgeschlossen ist und durch die Abbildung auf einer offenen Menge landet?

gruß

Klaus

08.08.2010, 21:56

KlausKI

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mein problem ist genau gesagt: ich hab es bei der Definition mit funktionen zu tun. ich soll das aber für eine Menge zeigen.

Wie soll das genau gehen? nehme ich mir da ein Element raus oder....??

09.08.2010, 00:12

Tarnfara

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Zitat:

Original von KlausKi
nun die aussage bedeutet doch in worten: Wenn die Differenz zwischen einem x aus X und a beschränkt ist, muss auch die Differenz zwischen deren Bildern beschränkt sein.

Nein. Beschränkt wäre ja irgendeine Schranke.

Die Definition bedeutet, dass wenn ich mit einem x nahe genug an den Stetigkeitspunkt herangehe, ich es immer schaffe, das Bild meines x auch nahe genug an das Bild des Stetigkeitspunktes zu bekommen.

Zitat:

offen bedeutet bei einer Menge (z.b. Kreisscheibe) das der Rand nicht dazugehört.

Und was bedeutet es "Rand zu sein" ? Irgendwas müsst ihr da ja definiert haben.

Zitat:

ich muss doch jetzt versuchen zu zeigen: Wenn H (Teilmenge von Y) offen ist, muss auch f^-1 (H) offen sein.

Richtig.

Zitat:

kann man da annehmen das H abgeschlossen ist und durch die Abbildung auf einer offenen Menge landet?

Wieso sollte daraus folgen, dass das Urbild einer offenen Menge offen ist ?

Zitat:

mein problem ist genau gesagt: ich hab es bei der Definition mit funktionen zu tun. ich soll das aber für eine Menge zeigen.

Wie soll das genau gehen? nehme ich mir da ein Element raus oder....??

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht die Umkehrfunktion. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(H) = \{ x \in X | f(x) \in H \} \end{eqnarray*}$

Ich entschuldige mich, ich habe deine Aufgabenstellung ungenau gelesen. So wie sie da steht, macht sie keinen Sinn, denn f muss ja überhaupt nicht bijektiv sein (wenn f nicht bijektiv ist, existiert auch keine Umkehrfunktion). Bist du sicher, dass das genauso da steht ?

Wenn du eine Eigenschaft für eine Menge zeigen musst, diese aber punktweise definiert ist, dann zeigt du es eben für jeden Punkt der Menge.

In diesem Fall wäre das: Ist a ein innerer Punkt von H, dann ist auch f^-1 (a) ein innerer Punkt von f^-1(H).

09.08.2010, 11:20

KlausKi

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[ich hoffe es wird nicht komplizierter, denn sonst verliere ich den Überblick : ) ]

von Bijektiv stand da nichts. ich habe die Aufgabe selber im Netz gefunden und wollte sie lösen. leider habe ich kein Beispiel dafür vorliegen.

Soweit ich das verstehe muss ich doch zeigen: Wenn ich eine Menge habe, die keinen Rand hat, dann kann ich durch eine stetige Abbildung niemals einen Rand bekommen.

Ich weiß aber nicht wie ich den Rand als Definition fassen kann. Vielleicht könntest du mir da eine Hilfestellung geben`?

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