Erwartungswert berechnen durch Integration über Wahrscheinlichkeitsmaß

08.08.2010, 17:37	Cauchy Potato	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert berechnen durch Integration über Wahrscheinlichkeitsmaß Meine Frage: Hallo liebe Mathefreunde, zZ verzweifle ich an einem Beweis, der eigentlich gar nicht so schwer sein dürfte. Es soll gelten: $\begin{eqnarray} <br /> E(X) = \int_0^\infty \! P({w : X(w) > t}) \, dt <br /> \end{eqnarray}$ Der Beweis dazu sieht folgender Maßen aus: Beweis: $\begin{eqnarray} <br /> E(X) =_{1} \sum\limits_{i=1}^\infty p_{i} x_{i} =_{2} \sum\limits_{i=1}^\infty p_{i} \int_0^\infty \! 1_{(0,x_{i})}(t) \, dt =_{3} \int_0^\infty \! \sum\limits_{i:x_{i}>t} p_{i} \, dt =_{4} \int_0^\infty \! P({X > t}) \, dt <br /> \end{eqnarray}$ Die Zahlen an den Gleichheitszeichen dienen nur der Nummerierung. Ich verstehe das 3. Gleichheitszeichen partout nicht. Meine Ideen:* Klar kann ich das Summenzeichen und das Integral vertauschen, aber dann sehe ich die Gleichheit trotzdem nicht.
08.08.2010, 20:58	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert berechnen durch Integration über Wahrscheinlichkeitsmaß Ob du die Reihe mit dem Integral vertauschen kannst ... da würd ich rein intuitiv mal den Satz von Beppo Levi (Monotone Konvergenz) anschauen. Ansonsten: Für $\begin{eqnarray} t\in (0,\infty) \end{eqnarray}$ ist der Term $\begin{eqnarray} p_i \cdot 1_{(0,x_i)} (t) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} t>x_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} t\in (0,x_i) \end{eqnarray}$ Für welche $\begin{eqnarray} i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist der zugehörige Summand dieser Reihe ungleich 0? $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty}p_i \cdot 1_{(0,x_i)} (t) \end{eqnarray}$ Edith: Villeicht wäre es auch nett wenn du beim nächstenmal die komplette Aufgabenstellung hinschreibst, denn so ganz allgemeingültig ist die Formel nicht
08.08.2010, 23:08	Cauchy Potato	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Ok jetzt, sehe ich's doch. Danke Die Vor. des Satzes ist, dass X eine Zufallsvariable ist die nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte $\begin{eqnarray} \left\{ x_{1}, x_{2} ...\right\} \subseteq \left[0, \infty\right] \end{eqnarray}$ annimmt. Dann sollte man die Summe und das Integral vertauschen dürfen. mfG CP

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