Grenzwert der Reihe n^5/n!

09.08.2010, 12:37	Bernd_Fragender	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe n^5/n! Meine Frage: Wie berechnet man den Grenzwert der Reihe n^5/n! ??? Meine Ideen: Die Reihe ist laut Quotientenkriterium konvergent. Die Reihe kann auch geschrieben werden als Reihe (1/n!)*n^5. Die Reihe (1/n!) erinnert mich an e. Aber wie geht es weiter?
09.08.2010, 13:14	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher hast du die Aufgabe bzw. ist in der Aufgabe wirklich nach dem Grenzwert gefragt? Ich fürchte nämlich das wird nicht so einfach, mir fällt spontan mal keine geschickte Abschätzung ein und ich hab eigentlich keine Lust, jetz hier mit der Gammafunktion rumzubasteln.?!
09.08.2010, 13:42	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen es gibt Zahlen $\begin{eqnarray} \zeta_k \end{eqnarray}$ die die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{n^k}{n!} = e\cdot \zeta_k \end{eqnarray}$ erfüllen, wobei $\begin{eqnarray} \zeta_0 := 1 \end{eqnarray}$ gerade durch die exp-Reihe gegeneben ist. Dann müssen sie auch die Rekursionsrelation (im Induktionsschritt: benutze Indexverschiebung und Binomischen Lehrsatz) $\begin{eqnarray} \sum_{i=0} ^{k} \binom k i \zeta_i = \zeta_{k+1} \end{eqnarray}$ erfüllen. Diese Rekursionsrelation mit $\begin{eqnarray} \zeta_0 = 1 \end{eqnarray}$ erfüllen gerade die Bellschen Zahlen.

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