taylorreihe zu polynom bestimmen (verstehen?!)

09.08.2010, 14:29

avenger89

taylorreihe zu polynom bestimmen (verstehen?!)

Meine Frage:
also das polynom ist das folgende mit dem entwicklungspunkt:

$\begin{eqnarray*} entwicklungspunkt: x_{0} = 1 p(1) = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + x - 1 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.ableitung: p^{1}(1) = 4x^{3} + 6x^{2} + 8x + 1 = 19 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.ableitung: p^{2}(1) = 12x^{2} + 12x + 8 = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.ableitung: p^{3}(1) = 24x + 12 = 36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4.ableitung: p^{4}(1) = 24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5.ableitung: p^{5}(1) = 0 \end{eqnarray*}$

hoffe mir kann jemand etwas anschaulich kurz erklären, wie das jetzt gemacht wurde an dem beispiel...
vielen dank schonmal für die hilfe!
wenn jemand ne wirklich gute inetseite kennt bitte auch posten Augenzwinkern

Meine Ideen:
in der lösung steht nur, dass das taylorpolynom dieses hier wäre...

$\begin{eqnarray*} 7+19(x-1)+16(x-1)^{2}+6(x-1)^{3}+(x-1)^{4} \end{eqnarray*}$

wie kommen die nun auf die werte 16 und 6 und 1 am ende?

das (x-1) steht für den entwicklungspunkt 1 nichtwahr? also bei 2 stünde dort (x-2) ... ?

konnte leider in meinem mathebuch auch nichts dazu finden, das mir das irgendwie erklären würde...

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen im Code (klarsoweit)

09.08.2010, 14:43

tigerbine

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RE: taylorreihe zu polynom bestimmen (verstehen?!)
Polynome sind schöne Funktionen. Warum? Weil man sie leicht ableiten und integrieren kann. Daher könnte die Idee stammen, andere Funktionen näherungsweise durch Polynome darzustellen. In einem (kleinen) Bereich um den Entwicklungspunkt nimmt man dann das Taylorpolynom anstatt die Funktion. Wie groß der Fehler ist, darüber geben die Formeln für das Restglied Auskunft (Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe oder ein Analysisbuch für mehr Info).

Es gibt Funktionen, die eine Darstellung als Taylorreihe besitzen.

Deine Funktion ist noch besser. Sie ist doch schon ein Polynom. Wenn du sie nun durch ein Taylorpoynom approxomiert wirst du, sobald du den gleichen Maximalgrad hast, keinen Rest haben.

Die Berechnung des TP ist dir nun schon vorgegeben (wenn wohl auch seltsam abgeschrieben?). Was ist unklar? Man bastelt eine Funktion, die in dem Entwicklungspunkt bis zu einer gewissen Ableitung mit der eigentlichen Funktion übereinstimmt. Die Formel hast du nun ja nachgeschlagen und weißt, dass man die Ableitungen von f im Entwicklungspunkt auswerten muss und dann durch eine Fakultät teilen muss.

So weit klar?

09.08.2010, 14:43

klarsoweit

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RE: taylorreihe zu polynom bestimmen (verstehen?!)

Zitat:

Original von avenger89
$\begin{eqnarray*} 2.ableitung: p^{2}(1) = 12x^{2} + 12x + 8 = 27 \end{eqnarray*}$

Hää?

Und bitte mache keine Zeilenschaltungen im Latexcode. Im Internetexplorer sieht das fürchterlich aus.

09.08.2010, 15:10

nils mathe lk hems

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sry für die optik oben und bei der zweiten ableitung ist ein fehler wie du ja schon bemerkt hast...
$\begin{eqnarray*} 2.ableitung: p^{2}(1) = 12x^{2} + 12x + 8 = 32 \end{eqnarray*}$
sollte es sein!

ich hab bisher soviel verstanden, dass wenn man aus einem polynom eine taylorreihe machen soll, erstmal solange ableiten muss, bis kein x mehr vorhanden ist.

diese formel für das taylorpolynom kenne ich...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{k}(x_{0}) }{k!} (x-x_{0})^{k} \end{eqnarray*}$

und ich habe es glaube ich gerade verstanden, wie die auf die 16, 6 und 1 kommen...

wenn ich jetzt die taylorfunktion nehme und mit der dritten ableitung und dem punkt 1 den funktionswert bestimmen will anhand dieser taylor-reihe, dann komme ich auf die 32...

$\begin{eqnarray*} 7+19(x-1)+16(x-1)^{2}+6(x-1)^{3}+(x-1)^{4} \end{eqnarray*}$

alles davor fällt weg durchs ableiten und es bleibt übrig

$\begin{eqnarray*} 32+36(x-1)+12(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass diese "taylor-reihen-bestimmung" teils auch ne ganz schöne fummelei ist?

09.08.2010, 15:20

tigerbine

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1. Welcher ist nun dein Account? Ein Account pro user, das ist doch wohl nicht so schwer einzusehen. Augenzwinkern

2. Entweder schreibt du allgemein oder wertest eine Funktion schon aus. Ferner ist ² nicht die zweite Ableitung. So viel Zeit muss sein. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} p^{(2)}(x) = 12x^{2} + 12x + 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p^{(2)}(1) = 32 \end{eqnarray*}$

3. Es ist so schwer, wie das Differenzieren einer Funktion eben mal sein kann. Bei einem Polynom sollte man aber nicht ins Schwitzen kommen.

$\begin{eqnarray*} p(x) = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + x - 1 \end{eqnarray*}$

Was willst du nun tun? Du wolltest doch die Taylordarstellung -> Taylorpolynom vom Grad 4 - berechnen.

Zitat:

wenn ich jetzt die taylorfunktion nehme und mit der dritten ableitung und dem punkt 1 den funktionswert bestimmen will anhand dieser taylor-reihe, dann komme ich auf die 32...

? Was ist das Ziel, wenn du schon vorher weißt, dass $\begin{eqnarray*} p^{(2)}(1) = 32 \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

09.08.2010, 15:56

nils mathe lk hems

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man sollte nur die taylor-reihe bestimmen...

2ter acc, weil ich mein passwort erst nichmehr wusste und dann ohne acc was geschrieben hab...

09.08.2010, 16:01

tigerbine

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man kann auch als gast hier posten.

Hast du nun verstanden, wie man die Taylordarstellung von p berechnet hat? Augenzwinkern

09.08.2010, 16:14

nils mathe lk hems

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nehmen wir ein anderes beispiel, bei dem ich auch die taylorreihe bestimmen soll...

ursprungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1)^{3} -x^{2}+2x-1 \end{eqnarray*}$

durch einfachen umformen des hinteren teils zu einem polynom "2.binomische formel"

$\begin{eqnarray*} Tf(x) = (x-1)^{3} - (x-1)^{2} \end{eqnarray*}$

erhält man doch schon die tylorreihe oder?

09.08.2010, 16:40

tigerbine

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Unter dem Bickwinkel der Lineae Algebra und dem Polynom als Element einer VR sucht man hier eine Darstellung des selben Vektors bzgl. unterschiedlicher Basen. Meist Monombasis 1,x,x² etc versus "Entwickungspunktbasis" 1,(x-x0), (x-x0)² etc.

In dem aktuellen Fall hast du ja die Darstellung von f bzgl der "Entwickungspunktbasis" gefunden. Wenn du dir unsicher bist, mach die Probe. Augenzwinkern

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