Grenzwert folgender Folge:

09.08.2010, 18:32

martha.1981

Grenzwert folgender Folge:

Hallo,

hab hier gerade eine Aufgabe, bei der ich bezweifele, dass das schon alles war:

Sei $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: (x_0-1,x_0+1)\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit definiere man die Folge
$\begin{eqnarray*} y_1:=0,\, y_n:=\left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n}}{f(x_0)}\right)^n \text{für } n\neq 2 \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
Verwenden Sie den Logarithmus ln zur Grenzwertbestimmung.

Es müsste doch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)}\right)^n=\exp \left(\ln \left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)}\right)\cdot n\right) \end{eqnarray*}$

Dann geht $\begin{eqnarray*} \ln \left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)}\right) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \ln \left(\frac{f(x_0)}{f(x_0)}\right)=\ln 1=0 \end{eqnarray*}$

Der gesamte Ausdruck geht dann gegen exp(0)=1

stimmt?

Grüße,

Marthillaillaillalala

09.08.2010, 21:18

giles

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RE: Grenzwert folgender Folge:

Zitat:

Original von martha.1981
stimmt?

Nein.

Du hast einfach das "n" verschluckt!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)}\right)^n=\exp \left(\ln \left(\frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)}\right)\cdot n\right) \end{eqnarray*}$

Wegen Stetigkeit von exp kannst du jetzt den inneren Term separat betrachten

$\begin{eqnarray*} n \ln \left( \frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)} \right) = n \left( \ln f(x_0+\frac{1}{n})-\ln f(x_0) \right)=\frac{\ln f(x_0+\frac{1}{n})-\ln f(x_0)}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

und das sieht doch verdächtig bekannt aus Augenzwinkern

10.08.2010, 13:12

martha.1981

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Okay, dan habe ich noch fragen: 1. zu meinem Ansatz: Wo habe ich denn da das n verschluckt?

Ich habs nochmal durchgerechnet, mein Fehler ist mir noch nicht klar.

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)} \right)^n=\exp\ln\left( \frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)} \right)\cdot n \end{eqnarray*}$ wegen Funktionalgleichung der ln-Funktion.

Jetzt kann ich, da exp und ln stetig sind, den Limes für n gegen unendlich reinziehen.

Also schaue ich mir an wogegen $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)} \end{eqnarray*}$ geht: gegen 1
dann geht insgesamt der ln gegen 0 und das n gegen unendlich. macht 0 und die exp geht dann wieder gegen 1.

müsste doch passen :/

Zu Deinem Ansatz:

Da geht im diff.quot. dann Zähler und Nenner gegen Null, also muss der l'hospital das Werkzeug meiner Wahl sein. Wozu ich aber Ableiten muss und insbesondere das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Was gibt's da für einen Trick oder mache ich gerade einen Denkfehler?

Grüße

10.08.2010, 13:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von martha.1981
dann geht insgesamt der ln gegen 0 und das n gegen unendlich. macht 0

Da liegt der Hase im Pfeffer. Mit dem gleichen Argument müßte die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \cdot n \end{eqnarray*}$ auch gegen Null konvergieren, was sie aber offensichtlich nicht tut. smile

10.08.2010, 13:36

tmo

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Man kann da auch mal mit ein bisschen Heuristik rangehen.

Schleißlich gilt in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (also für große n) in 1. Näherung: $\begin{eqnarray*} f(x_0+\frac{1}{n}) \approx f(x_0)+\frac{1}{n}f'(x_0) \end{eqnarray*}$ , womit sich im Grenzübergang ergibt:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{f(x_0+\frac{1}{n})}{f(x_0)} \right)^n = \left( \frac{f(x_0)+\frac{1}{n}f'(x_0)}{f(x_0)} \right)^n = \left(1+ \cfrac{\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}}{n} \right)^n \to \exp\left( \frac{f'(x_0)}{f(x_0)}\right) \end{eqnarray*}$ ,

was das Ergebnis von giles bestätigt.

10.08.2010, 13:36

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left(\frac{f(x_0 + \frac 1 n )}{f(x_0)}\right)^n =~\exp \left(\lim_{n \to \infty }n \cdot \ln \left(\frac{f\left(x_0+\frac 1 n\right)}{f(x_0)}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Nun aber gilt das Gesetz

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n \cdot b_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$

nur dann, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert besitzen, das tun sie hier aber nicht.
Nach deinen Überlegungen müsste ja auch die wohl bekannte Definition der Eulerschen Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$

den Grenzwert 1 haben, das stimmt aber nunmal nicht, der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ .

Um den Grenzwert zu lösen, benutze die Umformung von giles.

Edit: Mal wieder zu lange geschrieben...

10.08.2010, 14:49

martha.1981

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Okay, dann habe ich zweierlei gelernt:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ irgendeine Folge.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\cdot n=\lim a_n \cdot \lim n \end{eqnarray*}$ schonmal nicht, da $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Folge divergiert.

Falls $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\cdot n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Eben aus obigem Grund.

10.08.2010, 14:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von martha.1981
Falls $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\cdot n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Eben aus obigem Grund.

Auch diese Schlußfolgerung ist in dieser Allgemeinheit falsch, wie man für a_n = 1/n² erkennt. Augenzwinkern

11.08.2010, 18:30

martha.1981

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Okay, ja klar - sehe ich ein. Aber manchmal... soooo viele Regeln Augenzwinkern

11.08.2010, 19:00

Q-fLaDeN

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@tmo
Sehr elegante Lösung, kannst du vllt. kurz sagen warum

$\begin{eqnarray*} f(x_0+\frac{1}{n}) \approx f(x_0)+\frac{1}{n}f'(x_0) \end{eqnarray*}$

in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

11.08.2010, 19:34

giles

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
@tmo
Sehr elegante Lösung, kannst du vllt. kurz sagen warum

$\begin{eqnarray*} f(x_0+\frac{1}{n}) \approx f(x_0)+\frac{1}{n}f'(x_0) \end{eqnarray*}$

in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Äquivalente Definition von Differenzierbarkeit über affin-lineare Approximierbarkeit mit besser-als-linearem Fehler.

Wenn man schon gezeigt hat dass für eine beliebige Nullfolge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1+\frac{x+a_n}{n})^n = \exp (x) \end{eqnarray*}$

ist der Beweis von tmo auch formal völlig korrekt (sag ich nur weil er geschrieben hat es ist Heuristik smile

)

11.08.2010, 22:51

tmo

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Das habe ich mal zur Vorsicht gesagt, dass niemand auf die Idee kommt, das würde immer so funktionieren.

Wie du schon angemerkt hast, hängt das hier damit zusammen, dass $\begin{eqnarray*} exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ sich verallgemeinern lässt, wie von dir geschrieben.

Aber als einfachstes Gegenbeispiel sei $\begin{eqnarray*} n^2\left(f(x+\frac{1}{n})-f(x)-\frac{1}{n}f'(x)\right) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Approximiert man wie eben, kommt 0 als Grenzwert raus, aber im allgemeinen ist das falsch. Z.b. für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert 1.

@Q-Fladen: Um den schon alles sagenden Satz von giles (wenn man genau weiß worum es geht Big Laugh

), noch etwas zu füllen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Definitionen

Lies dir mal die 1. Definition (verblüffend, dass die Standarddefinition bei reellen Funktionen "nur" die zweite ist, aber das sieht man vielleicht dann ein, wenn man Differenzierbarkeit in allgemeineren Zusammenhängen als reellen Funktionen kennenlernt) durch.

12.08.2010, 00:06

Q-fLaDeN

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Ah, danke. Durch den Satz von giles wusste ich aber zugegebenermaßen auch nicht so viel mehr als vorher, da ich das eben noch nie gehört habe. Diese Definition sehe ich so auch zum ersten mal, aber ich denke ich habs verstanden

Diese Definition kommt doch auch vom bekannten Differenzenquotient (h geht gegen 0)

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x_0 + h) = f(x_0) + h \cdot f'(x_0) \end{eqnarray*}$

wobei hier eben h = 1/n und der Fehler der Approximation r(x) gegen 0 geht, deshalb auch das $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ und nicht das =, lieg ich damit richtig?

12.08.2010, 00:47

giles

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Zitat:

Durch den Satz von giles wusste ich aber zugegebenermaßen auch nicht so viel mehr als vorher, da ich das eben noch nie gehört habe.

Achso, sorry Finger1

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x_0 + h) = f(x_0) + h \cdot f'(x_0) \end{eqnarray*}$

wobei hier eben h = 1/n und der Fehler der Approximation r(x) gegen 0 geht

Jein, in der Gleichung oben hast du noch das r vergessen (und den limes, sonst gilt die erste Gleichung darüber nicht smile

) und es ist essentiell, dass der Fehler besser als linear gegen 0 geht. Für jede stetige Funktion geht der Fehler gegen 0, aber besser als linear nur genau dann wenn der Differentialquotient existiert.

12.08.2010, 11:17

Q-fLaDeN

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Ah ok, nun ists klar. Dass h gegen 0 geht hatte ich ja hinzugeschrieben, ich wusste nur nicht wie man ne Umformung mit dem Limes machen solle verwirrt

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