Herleitung der Formel für den Um- und Inkreisradius eines Tetraeders

09.08.2010, 19:50	kristin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Formel für den Um- und Inkreisradius eines Tetraeders Meine Frage: Ich versuche schon seit Tagen die Herleitung für die Formel zur Berechnung des Um- bzw. Inkreisradius eines Tetraeders heruazufinden, aber es klappt einfach nicht. Kann mir vielleicht jemand helfen? Vielen Dank schonmal im Voraus! Meine Ideen: Ich weiß, dass man den Satz des Pythagoras anwenden muss. Die Formeln, auf die man kommen muss lauten: r(u)=a/4 Wurzel 6 r(i)=a/12 Wurzel 6
09.08.2010, 20:11	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Formel für den Um- und Inkreisradius eines Tetraeders Hier findest du zumindest eine hilfreiche Figur.
09.08.2010, 20:35	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte helfen sich zuerst zu überlegen, wie sich die Höhe eines Tetraeders (= Dreieckspyramide mit Randbedingungen gleicher Seiten) berechnet und wo sich der Mittelpunkt des Tetraeders relativ dazu befindet (d.h. in welchem Verhältnis die Höhe zu Inkugel- und Umkugelradius steht). edit: "kreis" -> "kugel". Danke an sulo.
09.08.2010, 20:40	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht es wirklich um Kreise? Oder nicht eher um Kugeln?
10.08.2010, 23:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich sind es Kugeln. Man muss die Aufgabe allerdings auf zweidimensionale Kreisberechnungen zurückführen. Eine große Bedeutung kommt der richtigen Wahl eines sinnvollen Körperschnittes zu, aus dessen Schnittfigur die entsprechenden Daten abzulesen sind. Wenn man also durch den Tetraeder einen entsprechenden Schnitt, der die Körperhöhe enthält, führt, entsteht als Querschnitt ein Dreieck. Darin wird das Ganze dann zur Berechnung des Umkreises bzw. (beim Inkreis) eines Kreises, der zwei Seiten dieses Dreieckes berührt. Zur Berechnung beider Radien wird man nun einen Schnitt des Tetraeders mit einer Ebene heranziehen, welche durch zwei Eckpunkte geht, die Seitenhöhe h1 zweier Dreiecksflächen und die Körperhöhe h enthält. Die Schnittfigur ist ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten h1 und der Höhe h. Die Mittelpunkte der Umkugel und der Inkugel liegen aus Symmetriegründen beide auf der Körperhöhe h. Für den Radius ri der Inkugel: Der Kreis (ri) berührt beide Dreieckseiten h1. Zeichnet man die Berührungsradien ein, sind dann zwei ähnliche, rechtwinkelige Dreiecke zu sehen. Bei diesen gilt nun der Proportionalsatz: $\begin{eqnarray} r_i : (h - r_i) = \frac{h_1} 3 : h_1 \end{eqnarray}$ Für den Radius ra der Umkugel: Hier greift bereits der gewöhnliche Pythagoras (im selben Schnittdreieck) $\begin{eqnarray} r_a^2 = (h - r_a)^2 + (\frac 2 3 h_1)^2 \end{eqnarray}$ h1 und h müssen durch die bereits bekannten - für den Tetraeder geltenden - Beziehungen in a, der Tetraederseite, ausgedrückt werden. mY+
02.09.2010, 22:57	lirumlarum	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir möchten ri doch berechnen, wie können wir es dann zur Berechnung von ri in der Formel stehen haben??
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03.09.2010, 01:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine Formel, sondern eine Verhältnis-Gleichung! Diese ist nach ri aufzulösen. Ich hatte zum Ende auch geschrieben, dass h1 und h durch die entsprechenden Beziehungen in a ersetzt werden müssen. Allerdings kann in der 1. Gleichung durch h1 gekürzt werden, sodass danach steht: $\begin{eqnarray} 3 r_i = h - r_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+

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