Diagonalmatrix Aufg. Herangehensweise: D=C_invers - AC

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mso321 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix Aufg. Herangehensweise: D=C_invers - AC
Aufgabe:
Geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix C an, fuer die die Gleichung D=C^(-1)AC gilt also

D = Inverse von C * AC

Klausur Loesungsvorschlag:




Meine Fragen:
1. Ist die Aufgabe erstmal so verstaendlich fuer Euch um mir zu helfen?
2. Ich weiss wie ich eine Inverse berechnen tue. Nur bei dieser Aufgabe fehlt mir wirklich jeder Ansatz ...

Ich vermute das mit D = eine fiktive Diagonalmatrix gemeint ist und das A und C irgendwelche frei erfundenen Matrizen darstellen sollen.

Bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege:
Demnach waere, unter der Annahme dass meine Hypothese richtig sein sollte wovon ich ausgehe (siehe Musterloesung), mein naechster Schritt wohl, eine matrix A + C zu erfinden ... oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix Aufg. Herangehensweise: D=C_invers - AC
Man soll ein Beispiel für eine Diagonalisierbare Matrix angeben. Man kann also spezielle Matrizen wählen. Man hätte A ja schon Diagonal wählen können. Teufel Um aber nicht so trivial zu sein, nimmt man eine symmetrische Matrix (-> wie lautet der zug. Satz) und dann weiß man auch schon, wie C aussehen muss.

Man kann auch mit D starten und eine reguläe Matrix C nehmen. A ergibt sich dann von selbst.
 
 
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix Aufg. Herangehensweise: D=C_invers - AC
die Aufgabe gibt vor:
Geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix C an, fuer die die Gleichung D=C^(-1)AC gilt also

Woran erkenne ich denn dass diese Gleichung erfuellt ist. Ich weiss nicht wie ich da ran gehen soll und was fuer Bedingungen erfuellt sein muessen. Ich glaub mir fehlen da vielleicht noch etwas die Grundlagen. Ich weiss halt wie man ne Inverse berechnet, wie man ne Matrix multipliziert, aber der Rest ... ich find da noch kein Einstieg in die Aufgabe, ausser dass ich einige Matrizen hier frei waehlen kann, aber nicht weiss warum und was ich dann davon habe/ damit machen soll ...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wüsstest du denn wie man vorgeht wenn eine konkrete Matrix A gegeben wäre ?
Wenn A gegeben ist, dann besteht C aus den Eigenvektoren von A.
Das wäre dann also eine typische AUfgabe zur Eigenwert- und Eigenvektorbestimmung, wenn ich mich recht erinnere Hammer
Wenn nun keine Matrix A gegeben ist musst du dir wohl eine ausdenken.
Am Besten eine, bei der es sehr simpel ist die Eigenwerte/Eigenvektoren zu bestimmen.
Da man sich die Sache damit im Prinzip (wie tigerbine bereits erwähnte) auch sehr einfach machen kann finde ich das jetzt keine besonders gelungene Aufgabenstellung verwirrt
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub das ist heute auch erstmal zu spaet fuer mich um da noch vernuenftig was mit anzufangen.

Eigenvektoren+Werte kann ich ermitteln, also Berechnen, warum das jedoch gemacht werden muss und was diese Auswirken - da kann ich nicht viel zu sagen. Hab das Schema im Kopf und kann es halt anwenden ^^.

Danke Euch erstmal. Ich guck mir Eure Hilfeversuche morgen nochmal in Ruhe an, wenn ich wieder ausgeschlafen bin. Schoenen Abend noch
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht Schläfer
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

So wieder wach ^^.

Hab mich vorhin nochmal an die Aufgabe gesetzt:

Ich wuerde das jetzt erstmal so machen, dass ich C frei waehle.
Hier muss eine Matrix genommen werden, die Invertierbar ist.

Wenn ich diese nun Invertiere, habe ich von der Aufgabenstellung schon

C' und C erfuellt. Nun brauch ich ja nur noch A zu waehlen um dann in Form der Multiplikation auf D zu stossen, richtig?

Und bei A ist es total egal was ich waehle oder?

D = C'*A*C


Komme ich so zum Ziel oder habe ich was falsch gemacht?
Was ich hier nicht verstehe, wozu soll ich hier was mit Eigenwerten/Vekoren machen?


Ich bin etwas misstrauisch,was mein Loesungsweg angeht, da in der folgenden Aufgabe dann steht, finden sie von Ihrer in der oben liegenden Aufgabe gefundenen Matrix C nun die Inverse.

... das wuerde meine Herangehensweise zerstoeren ^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe läßt dir die freie Wahl von A,D,C, es muss nur gelten

D = Inverse von C * AC

Also nimm eine Diagonalmatrix und eine reguläre MAtrix C. Berechne die Inverse von C und dann berechne A. fertig. Beispiel gefunden.

Kannst du mal den OT der ganzen Aufgabe einstellen. Danke.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einfacher wäre es natürlich gleich für C auch die Einheitsmatrix zu nehmen Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix Aufg. Herangehensweise: D=C_invers - AC
Teufel Hehe.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund des Hinweises von Tigerbine, hab ich jetzt mal die Vorhergehenden Ergebnisse mir angeschaut, und tatsache, ich denke schon das diese Aufgabe mit der vorhergehenden zusammen haengt.

Ergibt sich dadurch etwas neues fuer Euch fuer die Vorgehensweise?

[attach]15694[/attach]
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ändert die Aufgabenstellung doch signifikant.
Das Vorgehen ist klar: Man nimmt sich l.u. Eigenvektoren die man in (c) berechnet hat und schreibt diese in C rein, was auch in der Lösung gemacht wurde
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

und was mach ich, wenn ich mich bei Aufgabenteil b verrechnet habe und keine Eigenwerte/Vektoren ermitteln konnte.

Fuer diesen Aufgabenteil A2 gab es 25% der Punkte
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du nochmal rechnen bis keine Fehler mehr drin sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mal als Nachtrag: Es ist A hier gegeben. Was bis dato verschwiegen wurde. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

War meine Vermutung also doch richtig, denn wie gesagt sonst wäre es eine ziemlich unkreative und auch ungewöhnlich "freie" Aufgabe gewesen.
Demnach also eine typische LA I (Klausur-)Aufgabe Freude
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich werde jetzt die Aufgabe soweit durch machen, bis ich gleich wieder an die eigentliche Aufgabe zurueck komme.

Kann ich anhand der Ausgangsmatrix denn irgendwie erkennen, ob meine Nullstellen die ich bei Aufgabe 2b) raus habe auch stimmen?

Waere echt schade, wenn ich all die anderen Aufgaben nicht machen koennte, nur weil ich mich verrechnet habe.

Ich sag mal das Berechnen mit Sarrus dauerte bei dieser Aufgabe bei mir schon ca. 10 Min, musste viel ausgeklammert werden. Hab ne halbe A4 Seite vollgeschrieben. Ok, groessere Sorgfalt kostet Ihren Preis wenn das Ergebnis stimmen soll ^^

Nur in der Abschlussklausur hab ich fuer diese Aufgaben (siehe Blatt) max. 30 min Zeit.
Da kann ich es mir nicht leisten mich zu verrechnen. Habt Ihr da irgend nen Tipp/ oder ne Hilfestellung fuer mich?

Ansonsten uebe ich das echt jetzt 1000 mal bis ich das im schlaf fehlerfrei mache.
5 Tage hab ich noch, Montag ist es so weit ^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

a) liefert EW also auch schon Nullstelle des Char.Poly

b) Sarrus oder eben Laplaceentwicklung.

c) Lösen von Gleichungssystemen. [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren

d) baut man sich gleich aus c)

e) Da musst du durch das Rechenverfahren durch.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

So, anbei meine Rechnungen fuer die Eigenwerte + den ersten Eigenvektor.

Komischerweise sagt die Musterloesung mir als Eigenvektor fuer (-1) = (3t,t,0)

ich komme auf (12,1,3)

Siehe Anhang.

Ich hab mir mal erlaubt damit auch andere Leser von meiner Aufgabe etwas haben, meinen Rechenweg einzuscannen, wie ich vorgegangen bin. Denke das ist was einfacher dann nachzuvziehen, wenn man mal den Rechenweg sehen moechte.

[attach]15697[/attach][attach]15698[/attach][attach]15699[/attach]
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt mal noch von deiner verlinkten Seite mir die Ergebnisse angeschaut:

charakteristisches Polynom:
-x^3 + 6x^2 - 3x - 10

reelle Eigenwerte: { -1 ; 2 ; 5 }

Eigenvektoren:

zum Eigenwert -1:
[ 3 ; 1 ; 0 ]

zum Eigenwert 2:
[ -1 ; -1 ; 1 ]

zum Eigenwert 5:
[ 0 ; -1 ; 1 ]

ich hab wahrscheinlich meinen Fehler gefunden. Und zwar habe ich (siehe Scan) Blatt 3 ca. Mitte des Blatts, nicht gesehen dass I. -9x und I. +9x sich aufheben.

Statt dessen hab ich ne Variable dazugenommen ... ich glaub das geht leider nicht hier.

Kann mir jemand ne Begruendung geben, warum nicht? Ich meine das LGS veraendert sich ja dadurch nicht oder etwa doch?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja du kannst nicht einfach nur beliebige Summanden miteinander verrechnen und die anderen so lassen.
Wenn du I+II rechnest dann musst du das auch für die komplette Zeile durchziehen.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrifft Aufgabenteil c)
Ich suche den Eigenvektor fuer 2, komme aber nicht auf diesen:


2 -9 -9
-3 8 3 (-2) * Einheitsmatrix
3 -9 -4

0 -9 -9
-3 6 3
3 -9 -6


0 -9 -9
-3 6 3
0 -3 -3

-3 6 3
0 -9 -9 // kann Wegfallen, da kein Mehrwert
0 -3 -3 // kann Wegfallen, da kein Mehrwert

also

-3 (x1) + 6 (x2) + 3 (x3) = 0

Nun berechne ich z.B. x1

dazu setze ich x2, x3 = 1, weil mir diese Werte ja fehlen
und erhalte

-3 (x1) + 6*1 + 3*1 = 0
-3 (x1) + 6 + 3 = 0

also 3 (x1) = 9, was mich auf den Wert x1 = 3 bringt --> der falsch ist.

Rauskommen muss: (t,t,-t), also an dieser Stelle x1 = 1
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mso321

-3 6 3
0 -9 -9 // kann Wegfallen, da kein Mehrwert
0 -3 -3 // kann Wegfallen, da kein Mehrwert


Nein! Eine Zeile wird zur Nullzeile, die andere Zeile bleibt aber stehen!
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist, du hast recht. Dankeschoen.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

-3 6 3
0 -9 -9
0 -3 -3

hab jetzt alles durch 3 dividiert

-1 3 1
0 -3 -3
0 -1 -1 (*-3)

-1 3 1
0 -3 -3

nun waehle ich x3 = 1

und komme auf

-3 (x2) - (3*1) = 0

-3 (x2) - 3 = 0

-3 = 3 (x2) | : 3

x2 = -1 --> muss jedoch 1 lauten unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, muss nicht zwingend 1 sein, das hängt von deiner Wahl für ab.

Zitat:
Original von mso321
Rauskommen muss: (t,t,-t), also an dieser Stelle x1 = 1


Du hast hier quasi stehen, bei deiner Rechnung hast gewählt, logisch dass du einen anderen Eigenvektor erhältst.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ok dass wusste ich bisher noch nicht.

Das bedeutet dann zugleich dass ich bei meinen Rechnungen wenn ich zwei Variablen frei habe und diese jeweils 1 setze, dass dadurch ich auch nie auf die Musterloesung kommen wuerde?

Oder verschieben sich dann die Ergebnisse einfach nur an eine andere x Position?

Weil theoretisch koennte ich ja auch die Zahl 5 anstelle der 1 waehlen. Dies muesste ja dann schon Einfluss auf das Ergebnis haben oder?

Wie kann ich nun mit den Ergebnissen umgehen? Sind Diese Werte einfach an anderen Stellen, oder wirklich von Grund auf abhaengig von meiner Wahlzahl.

Was fuer eine Zahl wuerdet Ihr waehlen? Koennte ich nicht auf 0 nehmen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht den Eigenvektor zu einem Eigenwert, du bestimmst immer den kompletten Eigenraum (was man sich auch sehr schnell klar machen kann; sei linear, Eigenvektor zum Eigenwert , also , sind dann auch skalare Vielfache , Eigenvektoren?).

Man wählt meistens keine konkrete Zahl, sondern nimmt ein bel. Körperelement, die 5 würde es aber genauso tun wie oder , allerdings mag damit niemand rechnen, im konkreten Fall ist die 1 schon die angenehmste Wahl.

Und "Musterlösung" finde ich beider Eigenvektor/Eigenraum bestimmen unangebracht, es ist eine mögliche Lösung, eine Musterlöung in dem Sinne gibt es mMn dabei nicht.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

phew, da darf ich mich also in Aufgabe a bis c nicht einmal verrechnen ^^ das wird nen harter Brocken.


So ich bin jetzt bei Aufgabe d)
[attach]15706[/attach]


Wie ich die Musterloesung verstehe muss ich jetzt wie folgt vorgehen:

Nun nehme ich die Eigenvektoren aus c), fuege diese in einer Reihenfolge meiner Wahl zusammen und habe damit C gefunden.

Kann damit auch C' bilden und A ist ja gegeben.
Damit komme ich dann wenn ich alles miteinander multipliziere auf D?

Oder was genau ist jetzt hier verlangt. Werde daraus immernoch nicht so richtig schlau.
Was ich mich auch noch frage ist, woher weiss ich denn dass die Matrix C invertierbar ist.

Was zum Kuckuck wollen die von mir in dieser Aufgabe???? verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was wird von dir gewollt? Du hast in Aufgabenteil c) gezeigt, dass deine Matrix diagonalisierbar ist (wieso?). Was haben dann die Eigenwerte von A mit der Matrix D zu tun?

Was kannst du über die lineare Abhängigkeit von verschiedenen Eigenvektoren einer Matrix sagen?
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube genau dadrin liegt mein Problem, ich weiss vielleicht grob wie es gerechnet wird, aber nicht warum ich dies mache und was es bewirkt.

Ich braeuchte das Hintergrundwissen dazu, hab aber grade auch akute Zeitnot, Pruefung folgt in 5 Tagen ^^.

Nur waere schon schoen zu so ner Sache die Hintergruende zu erfahren.

Zu deinen Fragen:

^^ das sind alles gute Fragen, - die ich Dir auch gerne beantworten wuerde, leider kann ich dies momenta noch nicht smile

Wenn mir jemand Links dazu zum lesen gibt die leicht verstaendlich sind, waere das toll,
effektiver hier in meiner Situation waere einige Saetze dazu, die das erklaeren wuerden.
Ich waere sehr dankbar
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mso321
Ich braeuchte das Hintergrundwissen dazu, hab aber grade auch akute Zeitnot, Pruefung folgt in 5 Tagen ^^.

Nur waere schon schoen zu so ner Sache die Hintergruende zu erfahren.


Das ist und kann aber nicht Thema dieses Threads sein. Die Diagonalisierung ist ein wesentlicher Bestandteil der Linearen Algebra und wird in der Vorlesung ausführlich behandelt, um die Hintergründe in aller Ausführlichkeit zu behandeln, ist das hier nicht die richtige Plattform.

Zitat:
Original von mso321
Zu deinen Fragen:

^^ das sind alles gute Fragen, - die ich Dir auch gerne beantworten wuerde, leider kann ich dies momenta noch nicht smile


Dann solltest du dir die Diagonalisierung von Matrizen bzw. Endomorphismen in deinem Skript/deiner Vorlesungsmitschrift oder einem Lehrbuch zur linearen Algebra durchlesen. Zum Einstieg könntest du auch bei Wikipedia nachgucken, wobei da natürlich nicht ausführlich auf die Hintergründe eingegangen wird, also solltest du auch danach dein Skript zu Rate ziehen.

Konkret für die Aufgabe: die Eigenwerte von A sind die Diagonaleinträge von D, also musst du am Ende nicht die komplette Matrixmultiplikation durchführen.
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich denke du hast recht, ich meinen nen skript habe ich ja, nur bisher hab ich damit eher wenig anfangen koennen, da ich mehr mit Videos von Vorlesungen mir das alles angeeignet habe. Da verstehe ich mehr auf die schnelle.

Hatte nicht viel Zeit bisher, dadrum rapidlearning ^^.

Zu e) auf die Loesung von e komm ich alleine, das hat auch geklappt.

Ich danke Euch. Damit sollte ich bei der Aufgabe durch sein. Der Rest war eigentlich nich ganz so wild.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Und denke daran das ist sicher eine typische Klausuraufgabe, also präg dir die Schritte ein.
Im Prinzip braucht man bei solchen Aufgaben auch gar nichts verstehen (auch wenn es natürlich schön wäre) sondern nur das Schema F "Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen" anwenden und halt in der Lage sein eine Inverse zu berechnen smile
mso321 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

das was mir gefehlt hat war nichtmal so viel, einfach nur diese Seite smile

Da steht genau diese Aufgabe erklaert und was diese bedeutet.

http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...x&printable=yes

ich hoffe ich kann wenigstens jetzt leuten damit weiterhelfen, die sich auch mal fragen was der Mist eigentlich soll ^^

Schoenen Abend Euch allen.
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