Satz von Gauß und Satz von Stokes und vieles anderes

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Mathe-noob22 Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß und Satz von Stokes und vieles anderes
Hallo miteinander,
es ist soweit, eine mündliche Prüfung im Fach Höhere Mathematik 3 steht bei mir an. Weil ich jetzt unterm Strich zugegebener Maßen nicht so die Ahnung habe wollte ich mal mein Wissen hier zum einen prüfen, und zum doch einige Fragen Stellen! Würde mich über einige Antworten an dieser Stelle schonmal freuen. Danke Augenzwinkern

Also die generellen Themen sind Differentialgleichungen und Lösungsmethoden für Dgls ..von Trennung der Variablen bis hin zu Dgl n-ter Ordnung ..lösen über charakteristisches Polynom etc.
Es wäre cool von euch mögliche Prüfungsfragen zu hören, weil, wenn ich das Skript durcharbeite schauts für mich nur nach Formelwirrwarr aus, aber irgendwie seh ich nicht was für Fragen gestellt werden könnten. Was sollte man eurer Meinung nach darüber unbedingt wissen?

Ab hier geht es dann eher und Stabilität von Dgl, Vektorfelder, Gradientenfelder, Kurven in R3 und R2, Satz von Stokes, Satz von Gauß undorientierte/nichtorientierte Kurvenintegrale. Erklärungen, die nicht zu mathematisch sind wären mir lieb, weil das "Fachchinesisch ist mir etwas zu hoch"


Zur Stabilität weiß ich, dass es die Methoden der Linearisierung und nach Lyapunov gibt um zu bestimmen, ob es sich um stabile GGP handelt. Ich frage mich, was heißt in dem Fall dann (asymptotisch) stabil, wie ichs theoretisch rechne ist mir klar^^ ist ja schema-x. Was könnt man dazu generell fragen?

Dann ist mir über Jahre leider nicht ganz klar geworden was ich mir unter einem Vektorfeld vorstellen muss! Muss ich mir das als eine äußere Kraft vorstellen, die Auf eine Kurve, Fläche oder einen Körper theoretisch eine Kraft auswirkt? Ist ein Gradientenfeld als Spezialfall dann ein Feld bei dem die "wirkende Kraft" zwischen zwei Punkten vom Weg unabhängig ist.
Ist ein Gradientenfeld ein Vektorfeld bei dem die Jakobimatrix symetrisch ist? Wenn ja, gibt es dafür einen tollen logischen Grund? Was gibts in diesem Bereich noch wissenswertes?

Zu den Kurven in R3 und R2.. was kann man denn da fragen? höchstens wie die aussehen, was Torsion und Krümming sind? Torsion = die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf bzw änderung dieser Abweichung von Punkt zu Punkt? Krümmung = Richtungsänderung pro LE? Was gibts n noch tolles über Kurven zu wissen, das ist für mich wirklich ein recht nichtssagendes Thema..Stichpunkte? Man muss ja anhaltspunkte haben sich zu informieren.

Und meine zwei best buddys kommen jetzt. Satz von Stokes und Gauß!

Zum Satz von Stokes zunächst:



Grenzen hab ich ned in die Formel bekommen, sry. Also zum Satz selbst. Was genau soll die Rotation von v sein? v ist das Vektorfeld, das ist klar. Aber was sagt mir der Satz genau? ich habe mal einen schönen Vergleich gelesen, von einem Wanderer, der um einen Berg wandert, mal hoch und mal runter. Die entsprechenden Steigungen sind vergleichbar mit der Stärke des Vektorfeldes. Ist der Weg eds Wanderers theoretisch eine Geschlossene Fläche, die wie ein Fischernetz aufgebaut ist, ist die Arbeit, die der wanderer entlang des wegs verriechtet irgendwie die selbe, wie die einmal über die Randkurve..
woher kommt das denn? Dass sich bestimmte richtungsvektoren aufheben ist mir bewusst, aber was soll dieses Fischernetz, also woher kommt die idee des rasters??
Also ne gute erklärung hierfür würde mir viel bedeuten!


Dann haben wir noch den Satz von Gauß



Was genau muss ich mir unter diesem komischen Fluss vorstellen? Fluss durch eine Fläche find ich komisch, Wasser durch nen Hahn als fluss verstehe ich, kann man das hierauf ummünzen in irgendeiner art? Den sinn hieran sehe ich leider noch nicht ganz..

Ich weiß das ist ne ganze Menge aber ich hoffe ihr habt n paar ideen zu den Fragen und vielleicht zum jeweiligen Thema theoretische Fragen, die in einer Prüfung gefragt werden könnten!

GANZ GANZ lieben DANK!!

euer NOOB
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erklär' dir mal den Satz von Gauß:

Ich erkläre es am Beispiel: Bekanntlich entsteht in den Muskelzellen durch Verbrennung von Traubenzucker Wärme. Diese Wärmeproduktion ist je nach Anstrengung des Muskels an jedem Ort des Muskels unterschiedlich. Die Wärme wird durch Wärmeleitung in andere Körperregionen abtransportiert (Wir vernachlässigen mal den Wärmetransport infolge der Blutströmung usw.). Man kann sich also im Körper ein Vektorfeld vorstellen, das diesen lokalen Wärmefluss darstellt (also die Wärmeenergie, die pro Zeit durch eine gewisse Fläche fließt). Wir wollen nun wissen, wieviel Wärme in einem ausgewählten Punkt des Muskels produziert wurde (also lokal). Dazu denken wir uns eine kleine Kugel um diesen Punkt und messen die Wärmemenge, die durch die Kugeloberfläche abströmt. Diesen Wärmestrom dividieren wir durch das Volumen der kleinen Kugel. Dann macht man den Grenzübergang für extrem kleine Kugeln. Dieser Grenzwert heißt Divergenz des Temperaturstromes in betreffenden Punkt



Die Divergenz ist also ein Maß für die "Wärmeproduktion pro Volumen" innerhalb des Muskels. Im Allgemeinen erhält man in jedem Punkt eine andere Divergenz, weil jeder Punkt des Muskels eine andere Wärme produziert. Die Divergenz ist also ein ortsabhängiges Skalarfeld, das man aus einem ortsabhängigen Vektorfeld gewonnen hat.

Der Satz von Gauss besagt nun folgendes: Legt man eine geschlossene Fläche um den Muskel als Ganzes, dann strömt durch diese Fläche soviel Wärme ab, wie im Muskel insgesamt produziert wird, also



Das ist quasi der Energieerhaltungssatz.

Für den Satz von Stokes gibt!s eine ähnlich einfache Deutung.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Gauß und Satz von Stokes und vieles anderes
Gerade was eine mündliche Prüfung angeht, solltest du auf jeden Fall die ganzen Definitionen können und am Besten auch Beispiele/Gegenbeispiele wissen.
Im Normalfall kriegt man am Anfang irgendeine Frage nach einer gewissen Definition und dann muss man dazu eben noch einiges sagen.
Oder man kriegt eine Aufgabe, muss vielleicht erst mal noch gewisse Dinge in der Aufgabenstellung erklären und während man die Aufgabe löst kommen eventuell Zwischenfragen, was denn dies oder jenes ist, wieso man etwas machen oder folgern kann, ob diese Folgerung immer geht, ob es Ausnahmen gibt usw.

Zitat:
Original von Mathe-noob22
Dann ist mir über Jahre leider nicht ganz klar geworden was ich mir unter einem Vektorfeld vorstellen muss! Muss ich mir das als eine äußere Kraft vorstellen, die Auf eine Kurve, Fläche oder einen Körper theoretisch eine Kraft auswirkt? Ist ein Gradientenfeld als Spezialfall dann ein Feld bei dem die "wirkende Kraft" zwischen zwei Punkten vom Weg unabhängig ist.
Ist ein Gradientenfeld ein Vektorfeld bei dem die Jakobimatrix symetrisch ist? Wenn ja, gibt es dafür einen tollen logischen Grund? Was gibts in diesem Bereich noch wissenswertes?


Ein Vektorfeld ist einfach eine Abbildung deren Werte Vektoren sind. Nicht mehr und nicht weniger.
Also eine Abbildung mit offen. Anschaulich entspricht das einem Pfeil pro Punkt von .
Und das ist genau die Kraftfeld-Interpretation. Pro Raumpunkt zieht zb. die Gravitationskraft in eine gewisse Richtung, also auch pro Punkt ein Pfeil [=Kraftrichtung].

Für eine differenzierbare Funktion hat man pro Punkt eine Ableitung, der Gradient, also ein Pfeil. Und schon hat man ein Gradientenfeld vor sich.
Ein gegebenes Vektorfeld heisst Gradientenfeld, falls man eine Funktion finden kann derart, dass für alle Punkte .
Tja und du sagst selbst dass ein Gradientenfeld nette Eigenschaften hat [Wegunabhängigkeit der Wegintegrale].

Ausserdem kann man für ein gegebenes Vektorfeld und für einen gegebenen Punkt eine differenzierbare Kurve suchen, die durch den Punkt geht und in jedem Kurvenpunkt der Tangentenvektor genau gleich mit dem Vektorfeld-Wert ist - und schon hat man eine DGL:
mit Anfangswert .

Das entspricht einem Bach, indem man an einem Punkt einen Styroporkrümel reinwirft, dann fliesst dieser Krümel "mit der Strömung mit" und das heisst, dass in jedem Punkt sein Geschwindigkeitsvektor gerade der Geschwindigkeitsvektor des fliessenden Wassers ist - und das ist die ganz anschauliche Lösung einer DGL Augenzwinkern .
Mathe-noob22 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden schonmal, das sind schon wirklich ganz gute erklärungen, so verstehe ich das auch Big Laugh

Beim lernen hat sich mir heute noch eine Zusatzfrage zu den Dgls gestellt, vllt weiß das ja auch einer:

Was hat es mit Exponentialfunktion von Matrizen in Bezug auf DGL-Systeme auf sich, was bringt mir das denn unterm Strich?

VIELEN DANK schonmal
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist ja sehr allgemein gestellt.
Im Grunde ist es so, dass die Matrix-Exponentialfunktion sehr hilfreich sein kann, um ein Fundamentalsystem (Lösungssystem) für ein lineares DGL-System mit konstanten Koeffizienten anzugeben.

Guck mal hier http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential unter dem Kapitel "lineare Differentialgleichungen".
Mathe-noob22 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, aber wiki ist wieder recht mathematisch geschrieben ist mein Problem, habe ich selber auch entdeckt.. unglücklich

Ich überlege mir, wenn ich das lese.. Wir haben in den Übungen öfter Aufgaben mit

gerechnet, aber immer indem erst die EW der Matrix bestimmt wurden, darüber dann die EV errechnet wurden und dann das Fundamentalsystem bzw daraus die Lsg der DGL aufgestellt wurde..Ginge das auch über die e-fktion oder ist das hier etwas gänzlich anderes. Im ana Skript steht was von
und der STabilität einer Dgl wann B in Jordan-Normalform ist. Ideen?
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du selbst im Wikipedia-Artikel gelesen hast, kann man die Lösung eines netten linearen DGL-Systems auch mit dieser Exponentialfunktion darstellen.
Schön und gut, du weisst wie die Lösung aussieht - nachdem du die Exponentialfunktion ausgewertet hast!
Um das zu tun musst du im Wesentlichen die fragliche Matrix diagonalisieren. Also sparst du dabei nichts.

Ich persönlich halte diese Matrixexponentialfunktion für überflüssig.
Mathe-noob22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn man nichts gewinnt, dann verstehe ich denke ich auch grob was man macht, dachte nur es wäre halt irgendwie besser.. ist es wohl nicht..

danke
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Es genügt , wenn man die Exponentialmatrix auf Jordannormalform bringen kann.
Damit kann man auch schon viel anfangen.
Aber das ist natürlich auch eine Menge Aufwand, das stimmt.
Mathe-noob22 Auf diesen Beitrag antworten »

Bringt man die exp-form auf jordan-normalform indem man in diagonalmatrix und die übrig-bleibende matrix aufteilt? und dann durch die von mir genannte beziehung A und B= Diagonalmatrix ineinander überführt?
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe leider nicht was du damit sagen willst.

Was hat die JNF bei der Exp-Matrix mit der Diagonalmatrix zu tun?
Es ist nur so, dass jede quadratische Matrix ähnlich zu einer Jordan-Matrix ist.

Da steht dann ein Ausdruck von der Form :

Dabei die Jordan-Matrix.

Diese Umformulierung schafft bei der Exp-Matrix Vorteile.
Spiel mal selber ein wenig damit rum, dann siehst du vielleicht was ich meine.

Hier ein Beispiel:

Die Matrizen seien wie oben gegeben, dann gilt:



Ebenso gilt:



und falls A antisymmetrisch ist, so ist orthogonal.

Oder noch ein anderes Beispiel, dass jetzt aber nichts mehr mit Jordan-Matrizen zu tun hat:

Es seien gegeben und . Dann gilt:



Du solltest dir aber überlegen warum das alles gilt.
Dazu musst du einfach nur die Definition einer Exponentialmatrix benutzen und alles ausführlich hinschreiben.
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