Achsengerade Schreibweise

10.08.2010, 02:25

Susi2

Achsengerade Schreibweise

Meine Frage:
Hallöchen smile

Eigentlich geht's um Abbildungen in der affinen Ebene. Ich will's aber nicht verkomplizieren und springe direkt zur Frage:
Ich will die Achsengerade L hinschreiben in dieser Form:
L= (?,?) + $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (?,?)

Über LGS habe ich mein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = -1 -3( $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ )

Die Lösung ist L=(-1,0) + $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (-3,1)
oder auch so geschrieben:

L= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \mathbb R \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie ist der letzte Schritt zur Lösung?

Danke und LG Susi

Meine Ideen:

vektor x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Matrix:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & -3x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei hier natürlich noch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ fehlt.

Darf / muss ich jetzt für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ = 0+1 schreiben, weil für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ im LGS gar kein Wert errechnet wurde. Und der Wert der Matrixstelle 21 ist deshalb immer 0? und der Wert für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf der Matrixstelle 22 ist immer 1, in Fällen in denen man keinen Wert hat? Also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 & -3x_2 \\ 0 & 1x_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.08.2010, 13:20

mYthos

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RE: Achsengerade Schreibweise

Zitat:

Original von Susi2
...

Über LGS habe ich mein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = -1 -3( $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ )

Die Lösung ist L=(-1,0) + $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (-3,1)
oder auch so geschrieben:

L= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \mathbb R \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie ist der letzte Schritt zur Lösung?
...

Dein Parameter $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist unglücklich gewählt, damit wird normalerweise die Menge der reellen Zahlen bezeichnet. Nimm doch dafür einfach die Bezeichnung r.

Im Folgenden machst du es unnötig kompliziert und teilweise (in der Schreibweise) auch syntaktisch falsch.

Augehend von der gegebenen Koordinatengleichung

$\begin{eqnarray*} x_1 = -1 - 3x_2 \end{eqnarray*}$

setze einfach für $\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$

und schreibe die beiden Zeilen untereinander. Daraus ergibt sich sofort die gesuchte Vektorgleichung, welche (infolge des Parameters r) eine Parameterform darstellt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -1 - 3r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \ 0 \ + r \end{eqnarray*}$
-------------------------------------

Somit lautet die korrekte Parameterdarstellung der Geraden

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den (besonderen) Stützpunkt (-1; 0) kannst du auch so bekommen, indem du $\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, daraus folgt durch Einsetzen automatisch $\begin{eqnarray*} x_1 = -1 \end{eqnarray*}$

mY+

10.08.2010, 15:12

Susi2

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Hallo und Danke mYthos,

entschuldige, vielleicht drücke ich meine Frage falsch aus.

Du schreibst:
Augehend von der gegebenen Koordinatengleichung:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -1-3x_2 \end{eqnarray*}$

setze einfach für

$\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$

und schreibe die beiden Zeilen untereinander.

Welche beiden Zeilen meinst Du konkret? Woher nimmst Du die zweite Zeile?
Bisher habe ich doch erst:
$\begin{eqnarray*} x_1 = -1-3x_2 \end{eqnarray*}$

Die folgende Zeile lese ich zwar auch aus der Lösung ab, aber die Vorgehensweise ist doch damit noch nicht geklärt. Hierauf bezieht sich ja meine Frage.
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0+r \end{eqnarray*}$
Muss ich wenn ich für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gar nichts habe immer 0+1 schreiben?

Oder sagst Du, weil ich einfach bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$ ist, kann ich das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 +1r \end{eqnarray*}$
, weil der Wert ja schliesslich der gleiche ist?

Danke noch mal
Susi2

10.08.2010, 23:14

mYthos

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Zitat:

Original von Susi2
...
Oder sagst Du, weil ich einfach bestimme, dass $\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$ ist, kann ich das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 +1r \end{eqnarray*}$
, weil der Wert ja schliesslich der gleiche ist?
...

Dies genau trifft zu!
Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$ setze, ist

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 + r \end{eqnarray*}$

die gleiche Identität.

mY+

11.08.2010, 13:41

Susi2

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Verbindlichen Dank für deine klare Antwort! Freude

Jetzt versuche ich diese Vorgehensweise mal auf eine weitere Dimension zu übertragen:

Nach dem der Eigenwert = 1 errechnet wurde und von der ursprünglichen Matrix abgezogen wurde, kam folgende Matrix heraus die ich mit dem Vektor x multipliziere:

$\begin{eqnarray*} \left(x_1,x_2,x_3\right) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} 5x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

hier habe ich keine Werte für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$
Daher weiß ich nicht wie ich nun ein r setzen kann.
Wie kann ich die Lösung:

L= (1,0,0) + r(0,1,0)

erreichen?

11.08.2010, 23:26

mYthos

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Aus deiner Aufgabenstellung geht nicht hervor, worum es sich genau handelt bzw. was eigentlich gesucht ist.

$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

ist jedenfalls im dreidimensionalen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung einer Ebene, nämlich der x-y - Ebene. Von dieser kann man auch eine Parameterform (mit Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren) ermitteln, dabei gibt es 2 Parameter (r, s)

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Gerade in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ kann nur in Parameterform oder als lineares Gleiichungssystem (Schnitt von Ebenen) dargestellt werden.

Selbstverständlich gibt es auch im dreidimensionalen Raum eine (1-Parameter-) Geradengleichung. Bei dieser müssen allerdings Aussagen hinsichtlich Stützpunkt und Richtungsvektor bzw. die Angabe zweier Punkte vorliegen. Bei einer gesuchten Spurgerade wird jene Ebene benötigt werden, von der diese Spurgerade stammt.

Die von dir angegebene Lösung L kann somit erst dann verifiziert werden, wenn vollständige Angaben vorliegen.

mY+

16.08.2010, 11:03

Susi2

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Ich habe es jetzt verstanden, Danke!

L= r(1,0,0) + r(0,1,0)
lautet die Antwort auf die Frage was Achse ist.
Der Eigenwert 1 war der doppelte Eigenwert. Mit dem berechnet man ja die Achse.
Mein x3=0 bedeutet erstmal, dass die letzte Stelle immer null ist. Also haben wir nur die Ebene x, y bzw. x1, x2
Meine x1 und x2 sind frei wählbar, weil das die gesamte Ebene ist.

Damit wäre auch die Lösung richtig:

L= r(-99,pi,0) + s(123456,-33,0)

Hauptsache hinten bleibt die null.

Müsste jetzt richtig sein, oder?

LG
Susi

16.08.2010, 14:22

mYthos

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Zitat:

Original von Susi2
...
L= r(1,0,0) + r(0,1,0)
lautet die Antwort auf die Frage was Achse ist.
...

Du meinst wohl

L = r(1,0,0) + s(0,1,0)

Zitat:

...
Damit wäre auch die Lösung richtig:

L= r(-99,pi,0) + s(123456,-33,0)
...

Solange es sich um die Ebene x3 = 0 handelt, ja! smile

mY+

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