Exponentielles Wachstum

10.08.2010, 16:32

Zeroone

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Exponentielles Wachstum

Meine Frage:
Hallo Leute

ich muss sone blöde aufgabe lösen aber ich schnall die nicht..:-)
Es geht um die Händyverträge in Deutschland.
N(x)= a*e^bx

So(x) ist 1 und jetzt soll ich die Konstante a und b berrechnen.
Ich weiss aber nicht wie weil man hier keine gleichen basis hat kann mir das jemand erklären oder Lösen damit ich es nachvollziehen kann?
Gruss

Meine Ideen:
Geh es über Das Logarithmen Gesetzt?

10.08.2010, 16:55

sulo

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RE: Exponentielles Wachstum
1. Hier wird nicht gelöst oder vorgerechnet. Du musst schon mithelfen, die Lösung deiner Aufgabe zu finden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

2. Bei der Aufgabenstellung fehlt ganz offensichtlich ein Teil. So wie es da steht kann man nichts berechnen. Schreibe bitte die vollständige Aufgabe auf.

3. Das ist sicher kein Hochschulniveau, ich verschiebe den Thread.

smile

smile

10.08.2010, 17:27

Zeroone

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RE: Exponentielles Wachstum
Doch das ist es.. du hast kein recht den Tread einfach zu bestimmen!

so nun zu der frage:
a) Bestimme die beiden konstanten a und b aus den Werten für die jahre 1991 und 1999 ( Ruden auf zwei Dezimalzahlen)

x= Anzahl der Jahren seit 1991( z.B, x= 8 führ jahr 1999

b) Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Funktionswertes N(x) zum tatsächlichen Wert für das Jahr 1995.

c) Wie viel beträgt das jährliche prozentuale Wachstum zwischen 1991 und 1999

d) Berrechnen sie N(x) für das Jahr 2007

e) Bei einem exponentiellen Wachstum ist die Vertoppelungszeit konstant. Wie viel beträgt sie?

Jahr 1991 1993 1995 1997 1999
Anzahl in MIO. 0.5 1.8 3.8 8.3 23.4

10.08.2010, 19:53

sulo

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RE: Exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von Zeroone
Doch das ist es.. du hast kein recht den Tread einfach zu bestimmen!

Wie du meinst. Ich bin raus aus dem Thread.

Wink

Wink

11.08.2010, 11:39

Zeroone

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RE: Exponentielles Wachstum
Sorry nehm es zürück hab nicht gesehen das du schon 4 sterne hast dakte bis ein ks. So änderst natürlich die sache und ich enschuldige mich für meine ausdrücke. Aber das ist eine Hochschule die ich absolviere aber erst im 2 Semester. für informatik.

I m afraid :-)

11.08.2010, 11:44

Iorek

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RE: Exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von Zeroone
Sorry nehm es zürück hab nicht gesehen das du schon 4 sterne hast dakte bis ein ks. So änderst natürlich die sache und ich enschuldige mich für meine ausdrücke.

Das hat absolut nichts mit der Anzahl der Sterne zu tun, mehr mit einem Einhalten der Netiquette.

Zitat:

Original von Zeroone
Aber das ist eine Hochschule die ich absolviere aber erst im 2 Semester. für informatik.

I m afraid :-)

Es mag sein, dass du diese Aufgabe an einer Hochschule bekommen hast, vom Stoff her ist das aber in der 10ten Klasse angesiedelt, und damit der Übersicht halber als Schulstoff anzusehen.

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11.08.2010, 11:54

Zeroone

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Hallo

Okey wie ihr meint.. vieleicht ist es in deutschland ja anderst ...
und das ist ein deutsche Forum und daher akzeptier ich das..

Aber kännte mir bitte jemand helfen?
Wäre echt lieb
¨

11.08.2010, 12:05

Iorek

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Dazu fehlen immer noch wichtige Informationen.

Zitat:

Original von Zeroone
a) Bestimme die beiden konstanten a und b aus den Werten für die jahre 1991 und 1999 ( Ruden auf zwei Dezimalzahlen)

x= Anzahl der Jahren seit 1991( z.B, x= 8 führ jahr 1999

Ohne die Werte kann man diese Aufgabe nicht lösen.

11.08.2010, 12:14

Zeroone

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hallo

Sie werten sind unten hat es mir verschoben als ich dei antwort abschickte

1991 = 0.5Mio
1993 = 1.8 Mio
1995 = 3.8 Mio
1997 = 8.3Mio
1999 =23.4 Mio

ich hab folgendes gemacht.. hab die angaben auch aus einem Forum allerdings ist mir bei dieser formel aussrechnung nicht klar warum mann den exponent multiliziert mit e und nicht logarithmiert

23.4Mio = 0.5 e^b8 / :8
46.8Mio = eb*8 /: 8
5.85 = Ln (5.25) 3= 1.78

Forallem wie kann es 2 Konstante geben?

11.08.2010, 12:21

Iorek

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Es geht um eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot e^{b\cdot x} \end{eqnarray*}$ , dabei ist das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dein Anfangswert (der Wert zum Zeitpunkt x=0), das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist deine Wachstumskonstante, daher 2 Konstanten.

Was du da gemacht hast, ist mir vollkommen unklar, du setzt ja für a und b schon konkrete Zahlen ein, dabei sollst du die doch erst noch bestimmen.

Du hast zwei Wertepaare gegeben, wenn die das jeweils einsetzen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} 0{,}5=a\cdot e^{1\cdot x} \end{eqnarray*}$ aus dem Paar 0,5 Mio - 1991

$\begin{eqnarray*} 23{,}4=a\cdot e^{9\cdot x} \end{eqnarray*}$ aus dem Paar 23,4 Mio - 1999

Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, da bietet sich ein schönes Lösungsverfahren an.

11.08.2010, 12:31

Zeroone

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hallo

danke für die schnelle antwort..
aber für die Konstante B setzt du die jahre ein ...bei mir auf dem aufgabenblatt wird es so formulliert das x= Anzahlt der jahre seit ist

Wäre nicht dan die gleichung

0.5 = a *e^b1 richtig?
Mir ist zudem unklar wie a eine konstante sien kann es ist ja der anfangs wer oder?

11.08.2010, 12:49

Iorek

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Da hast du durchaus Recht, die Jahre sollen natürlich für das x eingesetzt werden.

$\begin{eqnarray*} 0{,}5=a\cdot e^{b\cdot 1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 23{,}4=a\cdot e^{b\cdot 9} \end{eqnarray*}$

Ist dein Anfangswert denn variabel? Oder ist es nicht vielmehr so, dass du im Jahre 1990 eine exakte Anzahl von Vertragsabschlüssen hast? Dein Anfangswert verändert sich ja nicht, er bleibt immer gleich, also ist er konstant.

11.08.2010, 13:00

Zeroone

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hallo

hmm für das jahr 1990 hab ich keine Angaben. ich bin nur langsam verwirt^^den wir hatten keinen grundstoff über logarithmen un so^^

11.08.2010, 13:03

Zeroone

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Die Aufgabenstelliung lautet einfach :

Bestimmen Sie die beiden Konstanetn a und b aus den Werten für die jahre 1991 und 1999, (Runden Sie auf zwei Dezimalstellen)

11.08.2010, 13:31

Iorek

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Dann hab ich oben was quergelesen...wenn es im Jahr 1991 anfängt, müssen die Gleichungen noch etwas anders lauten:

$\begin{eqnarray*} 0{,}5=a\cdot e^{b\cdot 0} \end{eqnarray*}$ , da wir uns ja im "0-ten" Jahr befinden.
$\begin{eqnarray*} 23{,}4=a\cdot e^{b\cdot 8} \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung kannst du direkt dein a bestimmen und das in der zweiten Gleichung verwenden.

Und grundsätzliches über den Logarithmus solltet ihr eigentlich behandelt haben, du brauchst gleich den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ um das b zu bestimmen.

11.08.2010, 13:49

Zeroone

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hmm also ist a
a = 0.5 *e^b?

Wenn ja ... wie soll man damit rechnen können
wenn nein muss ich da noch ln anwenden ?

11.08.2010, 13:49

Iorek

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Nein, du hast da stehen: $\begin{eqnarray*} 0{,}5=a\cdot e^{b\cdot 0} \end{eqnarray*}$ . Rechne den Exponenten aus.

11.08.2010, 14:15

Zeroone

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du hast doch gesagt ich sol in der ersten gelichung a aussrechnen wenn ich den exponenten aussrechne habe ich ja b und nicht a...
a soll ich dan in der 2 gleichung einfügen um b ausszurechnen? oder versteh ich da was falsch? Kannst es mir nicht mal demostrieren damit ich es nachvollziehen kann? bin langsam verwirt... wäre echt lieb und wäre sehr dankbar

11.08.2010, 14:17

Iorek

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Zitat:

Original von Zeroone
du hast doch gesagt ich sol in der ersten gelichung a aussrechnen

Nein, ich habe gesagt, du kannst aus der ersten Gleichung direkt das a bestimmen.

Zitat:

Original von Zeroone
wenn ich den exponenten aussrechne habe ich ja b und nicht a...

Was bekommst du denn, wenn du den Exponenten ausrechnest?

Zitat:

Original von Zeroone
a soll ich dan in der 2 gleichung einfügen um b ausszurechnen? oder versteh ich da was falsch? Kannst es mir nicht mal demostrieren damit ich es nachvollziehen kann? bin langsam verwirt... wäre echt lieb und wäre sehr dankbar

Ja, wenn du das a ausgerechnest hast, kannst du das in der zweiten Gleichung verwenden (a ist eine Konstante).

11.08.2010, 14:41

Zeroone

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hmhm hm ich habe keine ahnung wie ich a ablesen oder umrechen kann^^
versuch:

0.5 `= a *e^b ___ : a
0.5/a = e^b ___In ()
??? = e In b ___: in

bin ich soweit richtig? das problem liegt rechts bei 0.5: a kann ich das mit dem natürlichen logarithmus machen? wenn ja wie???? *verzweiflung*

ist es 0.5/a In? und dann das ganze dividieren durch In damit ich den exponenten unten habe?

11.08.2010, 14:44

Iorek

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Warum nimmst du nicht meinen Tipp an, und berechnest den Exponenten? unglücklich

unglücklich

Was ist denn $\begin{eqnarray*} e^{0\cdot b}=e^0 \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2010, 15:39

Zeroone

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em :-) das sollte auch einern versuch dastellen ^^ oder gibt noch eine ander möglichkeit? ich probier den exponenten runter zu hollen durch log ..

11.08.2010, 15:45

Iorek

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Zitat:

Original von Zeroone
oder gibt noch eine ander möglichkeit? ich probier den exponenten runter zu hollen durch log ..

Willst du meine Hilfe nicht? Ich geb dir seit 1 1/2 Stunden einen richtigen (und den einfachsten Weg zur Bestimmung von a) vor. böse

böse

Zitat:

Original von Iorek
Was bekommst du denn, wenn du den Exponenten ausrechnest?

Zitat:

Original von Iorek
Was ist denn $\begin{eqnarray*} e^{0\cdot b}=e^0 \end{eqnarray*}$ ?

Was passiert, wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst, was bekommst du also als Ergebnis, wieso kannst du dann dein a direkt ablesen?

Den Logarithmus brauchen wir später noch um das b zu bestimmen, aber mach es doch bitte nicht unbedingt schwerer als es ist.

11.08.2010, 16:02

Zeroone

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hallo

:-) sorry ich kann das nicht nachfollziehen... ok klar ist das es 0.5 = a*e
das der exponent ja wegfällt..so jetzt muss ich e auf die andere seite kippen damit ich nur a enthalte
ok du wird mich hassen aber ist es 0.5/e =a?? echt ich hab den durchblick nicht ich mach das zum 1 mal und kanns noch nicht logisch nachvollziehen

11.08.2010, 16:08

Iorek

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Zitat:

Original von Zeroone
ok klar ist das es 0.5 = a*e

Dann weißt du aber mehr als ich...also nochmal: $\begin{eqnarray*} 0{,}5=a\cdot e^0 \end{eqnarray*}$ .

Allerdings hast du meine Rückfrage wieder komplett ignoriert:

Zitat:

Original von Iorek

Was passiert, wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst, was bekommst du also als Ergebnis, wieso kannst du dann dein a direkt ablesen?

Hierbei handelt es sich um ein wichtiges Potenzgesetz, das man in einer Formelsammlung/Skript/Internet nachschlagen kann (und vor allem auch sollte). Der Exponent ist 0 und fällt nicht einfach so weg!

11.08.2010, 16:25

Zeroone

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Huch

also wenn ich eine ZAHL mit 0 petenziere gibt es 1? :-)
0.5 = a*1 ergibt wiederum a ----> a = 0.5
Mein gott ich bin wirklich schwer von begriff hab die scheisse ned gsehen:-(
ist ja logisch.

So jetzt a einfügen:

23.4 = 0.5*e^b8 / -0.5
22.9 = e^b8 jetzt muss ich doch die Potenz runter holen mit dem natürlichen logarithmus... aber was passier da auf der andern seite mit den 22.9 ?

11.08.2010, 16:29

Iorek

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Ja, eine Zahl mit 0 potenziert ergibt 1.

Wenn du auf der rechten Seite den ln verwendest, musst du das natürlich auf der linken Seite auch tun. Aber: wenn du da $\begin{eqnarray*} 0{,}5\cdot e^{8b} \end{eqnarray*}$ stehen hast, wieso subtrahierst du dann die 0,5? Solltest du nicht vielmehr etwas anderes machen um die zu beseitigen?

11.08.2010, 16:46

Zeroone

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îch bin überfragt sorry

11.08.2010, 16:49

Iorek

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Du multiplizierst mit 0.5, da kannst du nicht 0.5 subtrahieren sondern musst durch 0.5...?

Wenn du 0.5 subtrahierst, steht da: $\begin{eqnarray*} 23{,}4-0{,}5=0{,}5\cdot e^{8b}-0{,}5 \end{eqnarray*}$ , und damit ist nichts einfacher geworden.

11.08.2010, 16:59

Zeroone

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Mensch ja logisch

23.4 = 0.5 e^b8 / :5
4.68 = e^b8 / In ()
4.68 In = In b*8 stimmt das so?

11.08.2010, 17:01

Iorek

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Nein

unglücklich

Nicht durch 5 teilen, du hast doch 0.5 da stehen.

Danach verwendest du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus und benutzt die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \ln(e^x)=x \end{eqnarray*}$ ist.

11.08.2010, 17:08

Zeroone

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Huch stimmt

lol
23.4 = 0.5*e^b8 /:8
46.8 = e^b8
46.8 In = In ( e^b8)
46.8 In = b8 ????

11.08.2010, 17:09

Zeroone

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sorry meine /: 0.5

11.08.2010, 17:11

Iorek

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Wenn du jetzt noch den ln richtig hinschreiben würdest, hätten wir es fast:

$\begin{eqnarray*} 46{,}8=e^{8b}~|\ln() \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(46{,}8)=\ln(e^{8b}) \end{eqnarray*}$ , also:
$\begin{eqnarray*} \ln(46{,}8)=8b \end{eqnarray*}$

Ein Schritt fehlt noch zum b.

11.08.2010, 17:14

Zeroone

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In 46.8 = 8b /:8
0.48 = b ??????
oder wie teilt man In 46.8/8 ??

11.08.2010, 17:15

Iorek

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Nein, $\begin{eqnarray*} \ln(46{,}8) \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl, also teil einfach diese Zahl durch 8: $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(46{,}8)}8=b \end{eqnarray*}$ .

11.08.2010, 17:18

Zeroone

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Aso und wie soll ich mit dieser zahl weiter rechnen? Bei den andern aufgaben`?

11.08.2010, 17:20

Iorek

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Du solltest diesen Wert für b verwenden können und damit rechnen, dann bekommst du die richtigen (weil genauen) Ergebnisse. Am Ende kannst du dann mit dem Taschenrechner einen Näherungswert angeben.

Du kannst ja aber jetzt schonmal die Wachstumsfunktion angeben.

11.08.2010, 17:29

Zeroone

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ok ich danke dir vielmal s für deinen Gedult und dafür das du mir deine Können übergeben hast.... Mit den anäherungsversuchen darüber muss ich mich noch informieren wie das geht oder was dasa geanu ist.

Vielen Vielen Dank

11.08.2010, 17:30

Iorek

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Du hast doch bestimmt einen Taschenrechner, dort gibts du $\begin{eqnarray*} \ln(...) \end{eqnarray*}$ ein und erhältst einen Näherungswert.

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