Integrale und Grenzwerte

Neue Frage »

Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale und Grenzwerte
Hallo,

ich habe die folgenden 2 Aufgaben zu bearbeiten:

1.) Berechnen Sie



2.) Bestimmen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals



Meine Ansatz zu 1.):

Ich habe noch nie so eine Aufgabe bearbeitet, vermute aber, dass es irgendwas mit parameterabhängigen Integralen zu tun hat.
Ich definiere mir also eine Funktion: leite wie gewöhnlich ab und erhalte:



Ist mein Vorgehen soweit richtig?


Mein Ansatz zu 2.):

Ich dachte mir, dass ich hier den Limes in das Integral ziehen muss. Dafür muss die Funktion im Integral aber gleichmäßig konvergieren oder?
Da habe ich leider keine Ahnung wie ich vorgehen kann.

Bin für jede Hilfe dankbar.
Muff Potter Auf diesen Beitrag antworten »

Im ersten Fall würde ich mir überlegen, daß man ja (Satz von Fubini) zunächst über y, dann über x integrieren könnte. Ich glaube dann wird das Integral einfach.

Edit: Hm. Oder vielleicht auch nicht. Dachte, daß man irgendwie durch lösen des Integrals über y auf einen einfachen Term kommt, aber es bleibt wohl sowas wie cos(x^2) stehen. Sorry, muß noch mal denken. verwirrt
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Mein Ansatz zu 2.):

Ich dachte mir, dass ich hier den Limes in das Integral ziehen muss. Dafür muss die Funktion im Integral aber gleichmäßig konvergieren oder?
Da habe ich leider keine Ahnung wie ich vorgehen kann.


Also, falls es sich um das Riemann-Integral handelt, dann ist der Ansatz doch schon ziemlich gut. (Ansonsten wäre das eine einfache Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz)

Sei beliebig. Trenne nun das Integral auf in



wähle A geeignet und schätze den zweiten Teil nach oben ab, so dass er für beliebige n kleiner als Epsilon bleibt. Für den ersten Teil kann man nun bedenkenlos den Limes reinziehen (weshalb?) und damit hat man die Lösung eigentlich schon dastehen (Beachte: Epsilon war beliebig!)

Edit: Irgendwie habe ich mich ein wenig schwer verständlich ausgedrückt glaube ich. Noch als Nachtrag:
Die Idee ist, das Problem auf die folgende Form zu bringen



da in dem reduzierten Problem dann nur noch ein Grenzwert vorkommt.

Gruss. Wink
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.

Bei Doppelintegralen wo die Grenzen reell sind (also wie in deinem Fall), integrierst du einfach erst nach y und dann nach x (oder andersrum, das geht naemlich wenn die Grenzen reell sind).

Wenn du nach x integrierst dann behandelst du das y wie eine reelle Zahl die da steht. Also bei deinem sin(x^2y) stell dir vor das y ist ne 5 oder sowas. dann ist es so als wuerdest du ein einfaches integral berechnen. wenn du dann nach y integrierst machstes genau andersrum.

viel spass.: )
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muff Potter
Edit: Hm. Oder vielleicht auch nicht. Dachte, daß man irgendwie durch lösen des Integrals über y auf einen einfachen Term kommt, aber es bleibt wohl sowas wie cos(x^2) stehen. Sorry, muß noch mal denken. verwirrt

Keine Panik. Alles mal genau aufschreiben, dann löst sich das eine oder andere in Luft auf. Augenzwinkern
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke , ich habs jetzt.
Mache es genauso wie ihr es gesagt habt.

Ich löse zuerst das Integral über y:



Da cos gerade.

Dies setze ich nun in das 2.Integral ein und erhalte:

Also gilt:


Zufälligerweise wäre ich mit meinen 1.Ansatz über die parameterabhängigen Integrale auf das gleiche Ergebnis gestoßen.
Dann war mein Ansatz am Anfang doch richtig oder?
 
 
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Zitat:

Mein Ansatz zu 2.):

Ich dachte mir, dass ich hier den Limes in das Integral ziehen muss. Dafür muss die Funktion im Integral aber gleichmäßig konvergieren oder?
Da habe ich leider keine Ahnung wie ich vorgehen kann.


Also, falls es sich um das Riemann-Integral handelt, dann ist der Ansatz doch schon ziemlich gut. (Ansonsten wäre das eine einfache Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz)

Sei beliebig. Trenne nun das Integral auf in



wähle A geeignet und schätze den zweiten Teil nach oben ab, so dass er für beliebige n kleiner als Epsilon bleibt. Für den ersten Teil kann man nun bedenkenlos den Limes reinziehen (weshalb?) und damit hat man die Lösung eigentlich schon dastehen (Beachte: Epsilon war beliebig!)

Edit: Irgendwie habe ich mich ein wenig schwer verständlich ausgedrückt glaube ich. Noch als Nachtrag:
Die Idee ist, das Problem auf die folgende Form zu bringen



da in dem reduzierten Problem dann nur noch ein Grenzwert vorkommt.

Gruss. Wink


Wie haben das Integral über Regelfunktionen eingeführt.
Das Riemann-Integral haben wir aber auch kennen gelernt und wenn ich mich richtig erinnere hat der Prof sogar bewiesen, dass jede Regelfunktion riemann-integrierbar ist.
Von daher wäre dein Ansatz auf jeden Fall gerechtfertigt.
Das Problem ist nur, dass ich dein Vorgehen nicht richtig verstehe. verwirrt

Wieso kann ich das mit dem Epsilon so machen?

Ich denke den Limes kann ich reinziehen, da die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert.

Nachdem ich mir nochmal Gedanken gemacht habe, wäre ich wie folgt vorgegangen:




Ich schätze den Ausdruck im Integtral betragsmäßig ab:



Also existiert das uneigentliche Integral


Hmmm.... jetzt weiß ich aber auch nicht mehr weiter.
Ich müsste dann ja den Wert des Integrals berechnen können.... verwirrt
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zufälligerweise wäre ich mit meinen 1.Ansatz über die parameterabhängigen Integrale auf das gleiche Ergebnis gestoßen.
Dann war mein Ansatz am Anfang doch richtig oder?


Nein, ich glaube nicht. Wieso leitest du denn da ab? Wenn schon dann



was zwar stimmt, aber nicht wirklich weiterhilft.

Gruss, gphd. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Evelyn89
Ich löse zuerst das Integral über y:



Da stimmt die Stammfunktion nicht. Bedenke, daß x konstant ist, da du über y integrierst.

Zitat:
Original von Evelyn89
Zufälligerweise wäre ich mit meinen 1.Ansatz über die parameterabhängigen Integrale auf das gleiche Ergebnis gestoßen.
Dann war mein Ansatz am Anfang doch richtig oder?

Da blicke ich nicht durch, was du gerechnet hast.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups! Ich meinte natürlich

Läuft aber auf das gleiche hinaus.

Korrigiere es jetzt oben.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Evelyn89
Zufälligerweise wäre ich mit meinen 1.Ansatz über die parameterabhängigen Integrale auf das gleiche Ergebnis gestoßen.
Dann war mein Ansatz am Anfang doch richtig oder?

Da blicke ich nicht durch, was du gerechnet hast.


Ich habe einfach nach x abgeleitet.

Ich meine wir hätten da so einen Satz gehabt, der besagt , dass man das unter bestimmten Voraussetzungen so machen darf.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich denke den Limes kann ich reinziehen, da die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert.


Eine solche Aussage sollte man aber auch beweisen. Wenn du das zeigst und ihr einen Satz hattet, welcher besagt, dass man dann Grenzwertbildung und Integration vertauschen kann, dann wärst du mit dem Beweis schon fertig.

Zitat:
Nachdem ich mir nochmal Gedanken gemacht habe, wäre ich wie folgt vorgegangen:



Das ist bisher erst die Definition des linken Integrals.


Zitat:

Ich schätze den Ausdruck im Integtral betragsmäßig ab:



Also existiert das uneigentliche Integral


Das Integral existiert zwar, aber die Bedingung () ist nicht ausreichend dafür.

Die Abschätzung ist natürlich korrekt.


Ich versuch' nochmal meine Idee rüberzubringen: Sei also beliebig. Mit deiner Abschätzung haben wir



Da wir wissen, dass das Integral konvergiert, gibt es ein A, so dass



Deshalb gilt für dieses A und alle n



Weiterhin ist , es gibt also eine Umgebung von 0, so dass ... und wenn man n gross genug wählt, dann liegt A/n in dieser Umgebung, also ...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »