Varianz bei Tschebyscheff Ungleichung

11.08.2010, 00:53	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz bei Tschebyscheff Ungleichung Hallo Also, die Aufgabe lautet folgendermassen: Für ein Kugellager werden Kugeln maschinell gefertigt. Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , welche den Durchmesser beschreibt, sei nicht normalverteilt. Die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma = 0.08 mm \end{eqnarray}$ sei als Maschinengrösse konstant, während der Erwartungswert (Sollwert) $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ von der Maschineneinstellung abhängt. a) Zur Schätzung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ werden aus der Produktion 100 Kugeln entnommen mit dem mittleren Durchmesser $\begin{eqnarray} \overline x \end{eqnarray}$ . Schätzen Sie die Wsk. dafür ab, dass die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} \overline X \end{eqnarray}$ des mittleren Durchmessers von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ um mindestens 0.05 abweicht. Mir ist klar, wie ich später den Tschebyscheff machen muss. Was ich aber nicht verstehe, ist wie man auf die Varianz kommt, denn: $\begin{eqnarray} E(\overline X) = \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(\overline X) = \frac {\sigma^2} {100} \end{eqnarray}$ Was mir jetzt einfach nicht einleuchtet ist, wieso hier durch 100 geteilt wird??? Ich bin mir hundert prozentig sicher, dass die Antwort völlig einfach ist. Jedoch ist dies nunmehr meine 50 Aufgabe in Statistik innerhalb der letzten zwei Tage. Manchmal blicke ich einfach nicht mehr durch. Ich bin dankbar um jede Hilfe!!!
11.08.2010, 09:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz bei Tschebyscheff Ungleichung Das folgt aus elementaren Regeln zur Standardabweichung bzw. Varianz. (1) Hat $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Standardabeichung $\begin{eqnarray} \sigma_x \end{eqnarray}$ , dann hat $\begin{eqnarray} Y=aX \end{eqnarray}$ die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma_y=a\sigma_x \end{eqnarray}$ und entsprechend die Varianz $\begin{eqnarray} V(Y)=a^2\sigma_x^2. \end{eqnarray}$ (2) Sind $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unabhängig mit Varianzen $\begin{eqnarray} \sigma_x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_y^2 \end{eqnarray}$ , dann hat $\begin{eqnarray} Z=X+Y \end{eqnarray}$ die Varianz $\begin{eqnarray} V(Z)=V(X)+V(Y)=\sigma_x^2+\sigma_y^2. \end{eqnarray}$ . Du hast 100 Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ , die als unabhängig angenommen werden sollen und die alle die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ haben. Dann hat nach (2) $\begin{eqnarray} Y=\sum_{i=1}^{100}X_i \end{eqnarray}$ die Varianz $\begin{eqnarray} V(Y)=100\sigma^2 \end{eqnarray}$ Der Mittelwert der 100 Messungen $\begin{eqnarray} Z=\frac{1}{100}Y \end{eqnarray}$ hat also nach (1) die Varianz $\begin{eqnarray} V(Z)=\frac{1}{100^2}V(Y)=\frac{1}{100^2}100\sigma^2=\frac{\sigma^2}{100} \end{eqnarray}$
11.08.2010, 12:50	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Huggy Danke dir vielmals. Eine kleine Frage habe ich aber noch. Warum nimmst du $\begin{eqnarray} V(Y) \end{eqnarray}$ als unabhängig an? Dann aber $\begin{eqnarray} V(Z) \end{eqnarray}$ wieder als abhängig? Das erschliesst sich mir noch nicht. Den Rest habe ich nachvollziehen können. DANKE nochmals!
11.08.2010, 14:05	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ als unabhängig an, weil die Aufgabe so gemeint ist. Sonst könnte man ohne zusätzliche Informationen nichts berechnen. $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ist per Definition $\begin{eqnarray} Y/100 \end{eqnarray}$ . Das ist einfach die Größe, über die du etwas aussagen sollst. Wenn eine Zufallsgröße sich von einer anderen nur durch einen Faktor unterscheidet, sind die beiden natürlich abhängig. Kennst du die eine, kennst du auch die andere.
11.08.2010, 15:25	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für alles Hubby. Habs begriffen!

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