Potenzen und negativ reelle Basen

11.08.2010, 02:05	Vier	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen und negativ reelle Basen Folgende Rechenregeln gelten ja für Potenzen: $\begin{eqnarray} <br /> a^x \cdot a^y=a^{x+y},{~}{~}{~}a^x \cdot b^x=(a \cdot b)^x,{~}{~}{~}\left(a^x\right)^y=a^{\left(x \cdot y \right)},{~}{~}{~}a^{-x}=\frac{1}{a^x}<br /> \end{eqnarray}$ Diese gelten nach folgenden Bedingungen. Für $\begin{eqnarray} a,b~\in~\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,y~\in~\mathbb R \end{eqnarray}$ Nachlesen kann man das auch in einer Formelsammlung. Nun zu meiner Frage: Also gelten diese Formeln wohl nicht uneingeschränkt für negative reele Basen bei gleichzeitig reelen Exponenten? Kann mir jemand Beispiele geben für negativ reele Basen bei reelem Exponenten wo eine oder mehrere Formeln nicht mehr zutreffen würden. Das die Null als Basis nicht funktioniert sehe ich noch anhand der letzen der vier Formeln. Deswegen ist sie kein Bestandteil der Frage. Ich habe versucht selbst solche Beispiele zu finden. Bin jedoch bisher gescheitert. Vielen Dank für eure Hilfe.
11.08.2010, 02:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -1 = (-1)^1 = (-1)^{0.5 + 0.5} = (-1)^{0.5} \cdot (-1)^{0.5} = ((-1) \cdot (-1))^{0.5} = 1^{0.5} = 1 \end{eqnarray}$ . Demnach wäre 1 = -1. Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} (-1)^{0.5} \end{eqnarray}$ nicht definiert ist. Es muss natürlich "reelle Basen" statt "reele Basen" heißen. Korrigiert.
11.08.2010, 08:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch Beispiele, die nicht an der Undefiniertheit einer Potenz scheitern, sondern an einem Potenzgesetz: $\begin{eqnarray} -1 = (-1)^{\frac{1}{3}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{6}}= 1 \end{eqnarray}$ . Demnach wäre -1 = 1. Das Problem ist hier, dass ein Potenzgesetz versagt, weil man bei der 6. Wurzel von 1 willkürlich die positive Möglichkeit berücksichtigt. (Es entsteht deshalb ein «Streit», ob man die Wurzeln negativer Zahlen (mit ungeradem Index) überhaupt zulassen soll.)

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