Reihenwert der Form k^2*q^k bestimmen

11.08.2010, 10:44

LeradoMendar

Reihenwert der Form k^2*q^k bestimmen

Hallo, Ich schreibe morgen eine Analysis Klausur und habe noch ein Paar Probleme mit dem Berechnen von Reihenwerten der Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k^2q^k \end{eqnarray*}$
Mit Aufgaben der Form
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kq^k \end{eqnarray*}$ geht alles rund (Couchy-Produkt/"Falten" der summen), aber bei $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ komm ich nicht wirklich weiter.

Mein Ansatz bisher ist
$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} q^k \right)^2 * \sum_{k=0}^\infty q^k = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^k q^k * \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$
Soweit habe ich es denke ich auch noch richtig, aber wie geht es weiter?
Ich würde jetzt so weiter machen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^k \sum_{i=0}^j q^k = (?) \sum_{k=0}^\infty (k+1)^2q^k \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich dann beim besten Willen nicht auf das gesuchte Ergebniss von
$\begin{eqnarray*} \frac{q(1+q)}{(1-q)^{3}} \end{eqnarray*}$

Hoffe mal, dass mir jemand von euch helfen kann..

11.08.2010, 11:10

Andi24

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Hi,

versuch es mal mit dem Ansatz hier

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^k=\sum_{k=1}^{\infty}((k-1)^2+2k-1)q^k \end{eqnarray*}$

Damit kommt man relativ schnell zum Ziel, wenn die Reihen k*q^k und q^k aus der Vorlesung/Übung bekannt sind.

Gruß

11.08.2010, 12:05

LeradoMendar

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Danke sehr für die schnelle Antwort.
So wie ich das verstehe, tausche ich da aber doch gerade ein Problem mit einem anderen der gleichen Art oder?

Meine vorgehensweise wäre jetzt, die hintere Summe aufzuspalten in
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2 q^k+\sum_{k=1}^{\infty} 2k q^k - \sum_{k=1}^{\infty}q^k \end{eqnarray*}$
jetzt sollte ich doch auch eine Indexverschiebung zu k=0 machen können, wobei sich die einzelnen Werte für k=0 (-1 und 1) ja gerade aufheben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}(k-1)^2 q^k+ 2\sum_{k=0}^{\infty} kq^k - \sum_{k=0}^{\infty}q^k \end{eqnarray*}$

mit den Bekannten werten für
$\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=0}^{\infty}k q^k = \frac{2q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty k^2q^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k-1)^2q^k + \frac{3q - 1}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

Weiteres auflösen macht für mich ab hier keinen Sinn mehr, da sich dann gerade alles wegkürzen würde und ich 0=0 da stehen hätte.

Kann gut sein dass ich auch einfach etwas auf dem Schlauch stehe.. Komme allerdings immer noch nicht wirklich weiter...

11.08.2010, 12:21

Andi24

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Zitat:

Original von LeradoMendar
Danke sehr für die schnelle Antwort.
So wie ich das verstehe, tausche ich da aber doch gerade ein Problem mit einem anderen der gleichen Art oder?

Meine vorgehensweise wäre jetzt, die hintere Summe aufzuspalten in
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2 q^k+\sum_{k=1}^{\infty} 2k q^k - \sum_{k=1}^{\infty}q^k \end{eqnarray*}$
jetzt sollte ich doch auch eine Indexverschiebung zu k=0 machen können, wobei sich die einzelnen Werte für k=0 (-1 und 1) ja gerade aufheben.

Ja Aufspalten ist richtig, nur musst du bei der Indexverschiebung aufpassen! Du willst bei der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^k \end{eqnarray*}$ den Index verschieben und mit k bei 0 beginnen, was passiert dann mit $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ in der Summe..... die Indexverschiebung musst du natürlich auch für (k-1)^2 durchführen

11.08.2010, 12:55

LeradoMendar

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Stimmt, was ich gemacht habe war keine Indexverschiebung.. Habe die Werte für k=0 vor die Summe gezogen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}q^k=\sum_{k=0}^{\infty}q^k-q^0 \end{eqnarray*}$

Ok, dieses mal mit Indexshift:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2q^k+\sum_{k=1}^{\infty}2kq^k-\sum_{k=1}^{\infty}q^k \end{eqnarray*}$
wird zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}k^2q^{k+1}+\sum_{k=0}^{\infty}2(k+1)q^{k+1}-\sum_{k=0}^{\infty}q^{k+1} \end{eqnarray*}$
und damit zu
$\begin{eqnarray*} q\left(\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2q^k\right)=q\left(\sum_{k=0}^{\infty}k^2q^k+\sum_{k=0}^{\infty}2kq^k+\sum_{k=0}^{\infty}q^k\right) \end{eqnarray*}$
das q kürzt sich dann weg und ich habe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2q^k=\sum_{k=0}^{\infty}k^2q^k+\sum_{k=0}^{\infty}2kq^k+\sum_{k=0}^{\infty}q^k \end{eqnarray*}$

Soa, indizes sind nun alle verschoben, aber ich komme leider immernoch auf keine Aussage über den Reihenwert..

11.08.2010, 13:07

Andi24

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Ok lass die Reihen $\begin{eqnarray*} 2\sum_{k=1}^{\infty} kq^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} q^k \end{eqnarray*}$ mal so stehen wie sie sind.

Aus der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (k-1)^2q^k \end{eqnarray*}$ wird

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2q^{k+1}=q\sum_{k=0}^{\infty} k^2q^k \end{eqnarray*}$

Macht es jetzt für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2q^k \end{eqnarray*}$ einen Unterschied, ob ich bei k=0 oder k=1 beginne?!

Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2q^k =\sum_{k=1}^{\infty} k^2q^k \end{eqnarray*}$

Und insgesamt siehts dann so aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} k^2q^k=q\sum_{k=1}^{\infty} k^2q^k +2\sum_{k=1}^{\infty} kq^k-\sum_{k=1}^{\infty} q^k \end{eqnarray*}$