Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage

Neue Frage »

Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Meine Frage:
Ich habe ein Ereignis X.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es innerhalb von 120 Tagen ein mal auftritt ist sagen wir mal 0,1 (alle Wahrscheinlichkeiten sind absolut, d.h. 0,1 = 10%).
Nun stelle ich mir folgende Frage: Ich suche die Zeit, die warten muss, bis ich erwarten darf, dass es eine Zeitperiode von 120 Tagen gab (Anfang ist variabel), in der das Ereignis n mal statt gefunden hat.

Meine Ideen:
Nun, ich kann natürlich sagen, ok, die Wahrscheinlichkeit, dass X innerhalb von 120 Tagen auftritt, ist 0,1, dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit dass X innerhalb von 120 Tagen n mal auftritt 0,1^n.
Für n=2 z.B. wäre die Wahrscheinlichkeit, dass X zwei mal innerhalb von 120 Tagen auftritt 0,01 oder 1/100. Dementsprechend würde ich sagen, ich muss 100 mal 120 Tage warten, bis ich erwarten darf, dass X ein mal innerhalb von 120 Tagen 2 mal auftrag.

Aber das Problem ist, dass es ja durchaus auch möglich ist, dass z.B. Ereignis X am Tag 7 und am Tag 124 auftritt. Damit ist innerhalb von 120 Tagen das Ereignis X zwei mal aufgetreten. Dies ist aber falsch, wenn ich meine Zeit in starre 120-Tage-Schritte aufteile. Dementsprechend habe ich überlegt, erst mal mit Dreisatz zu berechnen, wie wahrscheinlich X für den ersten Tag ist, und dann die Wahrscheinlichkeit berechne, wie wahrscheinlich es ist, dass es an den nächsten 119 Tagen noch ein mal auftritt. Das ist aber ebenfalls ein Problem, weil ich n Variabel brauche, und auch sehr groß, weit über 1.000. Wenn ich so rechne, würde ich immerhin als gegeben vorraussetzen, dass es am ersten Tag nur ein mal statt findet. Ich müsste also im Prinzip eine sehr lange Summe bilden:
w(m) sei die Wahrscheinlichkeit, dass X m mal an einem Tag statt findet.
w2(o) sei die Wahrscheinlichkeit, dass X o mal an 119 Tagen statt findet.
Nun brauche ich quasi die Summe von 1 bis n:
Welche der Überlegungen ist nun richtig? Und wie berechne ich nachher die Summen, wenn die Zahlen sehr, sehr groß werden, und mir kein Taschenrechner der Welt mehr was sagen will?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Ohne nähere Spezifizierung des Modells lässt sich da nichts rechnen. Es geht dabei um zwei Dinge:

(1) Die Wahrscheinlichkeit 0,9, dass das Ereignis innerhalb von 120 tagen einmal auftritt, sagt ja noch nichts darüber aus, wie diese Wahrscheinlichkeit innerhalb der 120 Tage verteilt ist. Diese Information wird aber benötigt.

(2) Wenn das Ereignis zu einem Zeitpunkt t eintritt, triitt es dann in den nächsten 120 Tagen mit derselben Wahrscheinlichkeit und derselben Verteilung der Wahrscheinlichkeit auf wie vorher?
Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
1) Die Wahrscheinlichkeit ist absolut gleichmäßig verteilt (die war übrigens 0,1, nicht 0,9). D.h. die Wahrscheinlichkeit, dass X an einem Tag auftritt ist 0,1/120 = 0,00083333333333 (Periode).
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in einer Stunde auftritt ist demnach 1/1200 / 24 = 0,00003472222222 (Periode), etc...
2) Die Ereignisse sind beinahe unabhängig voneinander. D.h ein Auftreten des Ereignisses X hat keinerlei Auswirkungen, auf weiteres Auftreten des Ereignisses. Daher hab ich die Wahrscheinlichkeit, dass X 10 mal innerhalb von 120 Tagen folgendermaßen berechnet:
0,1^10
Allerdings frage ich mich gerade ob das richtig war...
Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Nachtrag zu 2)
Die Ereignisse sind ja nur beinahe unabhängig voneinander, aber weil das so wenig ist, kann das vernachlässigt werden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Damit wäre ein Punkt schon mal klar, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens soll einer Gleichverteilung genügen. Das ist dann eine Gleichverteilung im Intervall [0, 1200], damit das Intervall [0, 120] die Wahrscheinlichkeit 0,1 bekommt.

Was ist nun, wenn das Ereignis eingetreten ist? Beginnt dann eine eine neue 1200 Stundenperiode, in der das Eintreten wieder gleichverteilt ist? Das wäre folgendes Modell: Es wird eine Zahl x1 im Intervall [0, 1200] gleichverteilt ausgewürfelt. Ist x1 <= 120, wird eine weitere Zahl x2 nach dem gleichen Schema ausgewürfelt. Damit das Ereignis in [0, 120] zweimal eintritt, müsste dann x2 im Intervall [0, 120 -x1] liegen. Und falls das eintritt, wird erneut gewürfelt. Ist das die Modellvorstellung?
Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Ich habe deinen letzten Post nicht so ganz verstanden, daher versuch ich das noch mal zu erklären:
Also, das Model sieht so aus:
Jeden Tag wird ausgewürfelt, ob Ereignis X eintraf, oder nicht.
Ich suche nun den Zeitpunkt x1, für den folgendes gilt:
Im Intervall [x1, x2] (mit x2 = 120 +x1) traf das Ereignis n mal ein. Nach welcher Zeit kann ich also damit rechnen, dass es irgendwann in der Vergangenheit seit dem Zeitpunkt 0 ein Intervall gab (Intervalllänge=120), welches das Ereignis X n mal beinhaltet.
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Da man das Zeitfenster von 120 Tagen beliebig über der Zeitskala verschieben kann, erscheint mir die Sache gar nicht so einfach. Vielleicht sehe ich auch den Wald vor lauter Bäumen nicht. Jedenfalls habe ich mich erst mal in meinen Gedanken verheddert.
Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Genau das ist das, was ich nicht berechnen kann, dass die Zeitskala beliebig verschoben werden kann... Das kann ich nicht berechnen.

Ein weiteres Problem ist (Das dürfte leichter zu lösen sein):
Ich hbe das Intervall [0,120]
Wie Wahrscheinlich ist, dass Ereignis X in diesem Zeitintervall n mal vorkommt?
Ich habe einfach 0,1^n gerechnet, ist das so korrekt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Nein, das ist nicht richtig. Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis an einem Tag ausgewürfelt wird. Dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass es in 120 Tagen n mal eintritt, aus der Binomialverteilung:



p ist aus der Wahrscheinlichkeit von 0,1 für die 120 Tage zu berechnen. Das Ergebnis hängt davon ab, ob gemeint war, mit Wahrscheinlichkeit 0,1 tritt es in 120 Tagen genau einmal auf, oder ob gemeint war, mit Wahrscheinlichkeit 0,1 tritt es in 120 Tagen mindestens einmal auf.
Mischka178 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 0,1 dass es genau ein mal in 120 Tagen auftritt.

Also ergäbe das eingesetzt für das Beispiel n=10:

Das versuch ich dann mal zu rechnen:




Hier hab ich schon das erste Mal Stress, dass der Taschenrechner nicht mehr mitspielen will, aber ok, ich hab einfach die Basis des Zählers auf 10 geändert, das geht glücklicherweise mit Schulmathematik:



Exakt so weit komme ich, was zum Henker ich jetzt mit dem Vektor, oder was das ist anstellen soll, weiß ich allerdings nicht. Kann mir da bitte jemand weiter helfen.
Ich habe es versucht an Hand von dem folgenden Artikel nachzuvollziehen:
http:*//de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Ziehen_von_Kugeln (ohne Stern)
Allerdings muss ich mich geschlagen geben. In dem Wiki-Artikel kann ich die beiden Brüche 1/125 und 16/25 verstehen, finde aber von dem Vektor nur die 5 wieder, wo die 3 hin ist, weiß ich nicht. Auch erschließt es sich mir nicht, wo die 1, die 2 und die 4 her kommen. Da wäre ich über etwas Hilfe dankbar.


PS: Kenn jemand einen guten Taschenrechner für Linux (Ubuntu), der mit größeren Potenzen als 100 klar kommt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da etwas falsch verstanden. Es sollte doch nach deinem Modell täglich gewürfelt werden. Und p sollte bei mir die Wahrscheinlichkeit sein, dass bei einem solchen einzelnen Wurf das Ereignis eintrifft. Es ist also keineswegs p = 0,1. p ergibt sich aus der Gleichung:



Diese Gleichung muss man numerisch lösen. Es ergibt sich:



Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit von 10 Ereignissen in 120 Tagen:



Mit den Potenzen sollte ein Taschenrechner keine Probleme haben, wenn man sie ohne Veränderung so eingibt. Bei dem Binomialkoeffizienten musss man zur Not die Faktoren per Hand eingeben.

Edit: Rechenfehler korrigiert
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte versehentlich mit 0,01 statt mit 0,1 gerechnet. Habe das oben korrigiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy


... oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Anmerkung von Leopold habe ich mir das noch mal angesehen. Und siehe da, die erste Rechnung war auch korrekt. Da hatte ich wohl nur einen anderen Startpunkt für die Iteration zur Gleichungslösung. Die fragliche Gleichung hat dummerweise zwei Lösungen, wie der folgende Plot zeigt.

Abgesehen von der gleichen Wahrscheinlichkeit 0,1 für genau einen Treffer in 120 Tagen sind die daraus folgenden Ergebnisse aber drastisch unterschiedlich. Siehe Tabelle! Du musst dir also noch mal Gedanken zu deinem Modell machen.
Don P Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignis innerhalb von 120 Tage
Ich denke, das ist nicht wirklich kompliziert:

Es herrscht Gleichverteilung und das Ereignis A tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 0,1 in einem bestimmten Zeitraum (120 Tage) auf. Das ist so, als hätte man einen idealen Würfel mit 10 Seiten, wobei eine bestimmte Seite A einmal in je 10 Würfen erscheint.

Die 120 Tage sind also quasi eine Rotation von 10 Würfen.
Nun ist die Frage, wieviele solche Rotationen man untersuchen muss, um eine zu finden, in der das Ereignis n mal aufgetreten ist.

Die W'keit für n Erscheinungen in einer Rotation dürfte nicht schwer zu ermitteln sein. Die Rechnung erspare ich mir hier und nehme einfach an, sie sei p. Dann muss man im Schnitt eben x = 1/p Rotationen untersuchen, bis man eine findet, für die das zutrifft.

Was die Zeitverschiebung in Tagen betrifft, so muss man zu den 120 Tagen nur x-1 addieren, um die zu untersuchenden x Rotationen à 120 Tage zu erhalten:

1. Tag bis 120. Tag
2. Tag bis 121. Tag
...
(120-x)ter Tag. bis (120+x-1)terTag.

fertig Wink

P.S.: Ich hoffe, das hier kein Problem wegen der Fertiglösung. Vielleicht ist sie auch falsch... wie man vielleicht am Schreibstil merkt, bin ich nicht wirklich Mathematiker. Nur interessierter Laie.
Konstriktive Kritik ist sehr willkommen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »