Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
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11.08.2010, 16:28 Doctor-G Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit einer Aufgabe aus dem Kurs "Wahrscheinlichkeitsrechnung" (für Lehramtsstudenten an Realschulen) und habe das Gefühl, dass diese nicht lösbar ist.
Es handelt sich dabei um eine Aufgabe zu bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Die Aufgabe lautet:
Zitat:

Rinder werden auf 20 Merkmale überprüft.
Folgende Güteklassen werden unterschieden:
I) Sehr tauglich: 16 bis 20 Merkmale positiv
I) Gut tauglich: 11 bis 15 Merkmale positiv
I) Bedingt tauglich: 6 bis 10 Merkmale positiv
I) untauglich: 0 bis 5 Merkmale positiv

Aus Erfahrung kann man anngehmen, dass stets 20% der Ringer untauglich, 40 % bedingt tauglich, 30% gut tauglich und 10% sehr gut tauglich sind.

Ein vorgeführtes Tier ist auf 3 willkürlich gewählte Merkmale geprüft worden und jedesmal war das Ergebnis positiv.
Man beweise, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Tier untauglich ist, <0,02 ist.


Da die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Merkmale nicht angegeben sind, vermute ich, dass das nicht lösbar ist. Es fehlen irgendwie Informationen.

Es wäre doch theoretisch möglich, dass die 3 überprüften Merkmale bei jedem Rind, auch bei den untauglichen, positiv sind - also, dass die Einstufung als untauglich von zwei anderen Merkmalen abhängt (ein untaugliches Rind darf ja bis zu 5 positive Merkmale haben).

Vielleicht hat jemand Lust, sich damit zu beschäftigen.
14.08.2010, 00:17 Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Zitat:
Original von Doctor-G
Da die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Merkmale nicht angegeben sind, vermute ich, dass das nicht lösbar ist. Es fehlen irgendwie Informationen.


Hallo!

Welche Informationen (bzw. genauer Wahrscheinlichkeiten, bedingt oder nicht) hast du denn erstmal? Kannst du das angeben?

Zitat:
Es wäre doch theoretisch möglich, dass die 3 überprüften Merkmale bei jedem Rind, auch bei den untauglichen, positiv sind - also, dass die Einstufung als untauglich von zwei anderen Merkmalen abhängt (ein untaugliches Rind darf ja bis zu 5 positive Merkmale haben).


Die Einstufung als untauglich hängt von 20 Merkmalen ab, höchstens 5 dürfen positiv ausfallen. Natürlich kann es sein, dass 3 Merkmale bei jedem Rind positiv sind, aber wieso ist das ein Einwand? Immerhin müssten ja genau diese 3 Merkmale ausgewählt worden sein.

Das Schema sieht doch wie folgt aus:
Wenn du zufällig irgendein Rind auswählst, ist die Wahrscheinlichkeit 20%, dass es untauglich ist. Nun hast du über das ausgewählte Rind jedoch weitere Informationen, mit denen du diese erste Schätzung verbessern kannst: statt P(untauglich) suchst du nun P(untauglich | 3 von 3 ausgewählten Merkmalen positiv). Das ist viel mehr an Information, was du hast.

Ansonsten reicht dir eine Abschätzung der gesuchten Wahrscheinlichkeit nach oben.

Grüße Abakus smile
14.08.2010, 12:47 wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Zitat:
Original von Doctor-G
Aus Erfahrung kann man annehmen, dass stets 20% der Rinder untauglich, 40 % bedingt tauglich, 30% gut tauglich und 10% sehr gut tauglich sind.


Die Zufallsvariable X der Anzahl positiver Merkmalsausprägungen verträgt sich aufgrund dieser Zahlen nicht mit einer Binomialverteilung.
(Eine solche hat ihrerseits 2 Voraussetzungen: Unabhängigkeit und Gleichhäufigkeit für die 20 Merkmale bzw. Positiv-Ausprägungen.)
Würde man allerdings die letzten 3 Zahlen ignorieren und nur die 20% für die Untauglichen ernst nehmen, dann würde eine Binomialverteilung mit p= ca. 0.36646 verträglich und würde der erwähnten bedingten Wahrscheinlichkeit den Wert ca. 0.02404 (höchstens 2 weitere Erfolge bei 17 Versuchen) geben.

Wenn die Aufgabe lösbar ist, müssten somit die ignorierten Zahlen miteinbezogen werden: Sie müssten helfen, die 0.02404 auf unter 0.02 zu drücken. Ich weiss aber noch nicht wie ...
15.08.2010, 11:30 Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Anzuwenden ist hier die Formel von Bayes und die der totalen Wahrscheinlichkeit. Vielleicht lässt sich ja mal hinschreiben, als was P(untauglich | 3 von 3 ausgewählten Merkmalen positiv) sich dann darstellt.

Über die Berechnung bzw. Abschätzung der einzelnen W'keiten in dieser Formel ließe sich dann weiter diskutieren.

Grüße Abakus smile
15.08.2010, 12:02 wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Solche Ratschläge helfen nicht weiter.
15.08.2010, 18:12 Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Zitat:
Original von wisili
Solche Ratschläge helfen nicht weiter.


Wo steckst du fest? Ich komme auf eine W'keit kleiner 0,016 damit Augenzwinkern .

Grüße Abakus smile
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17.08.2010, 11:57 wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Zitat:
Original von Abakus
Über die Berechnung bzw. Abschätzung der einzelnen W'keiten in dieser Formel ließe sich dann weiter diskutieren.


Nachdem du eine Zahl genannt hast, habe ich die groben nötigen Abschätzungen nun doch noch verfolgt: Wider Erwarten sind sie scharf genug; ich bekomme 0.0176 ... ; das erfüllt die Aufgabenstellung, weicht aber etwas von deinem Ergebnis ab.
18.08.2010, 00:23 Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe lösbar?
Zitat:
Original von wisili
... ich bekomme 0.0176 ... ; das erfüllt die Aufgabenstellung...


Damit haben wir dann 2 Ergebnisse, mit denen es klappt Augenzwinkern .

@ Doctor-G: kannst du die Bayes-Formel für diese Aufgabe nun hinschreiben und versuchen die dort auftretenden W'keiten zu berechnen?

Grüße Abakus smile
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