Standardabweichung bei Schulnoten

11.08.2010, 21:02	kuri	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardabweichung bei Schulnoten Man unterscheidet ja 1) Standardabweichung der Grundgesamtheit: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 } \end{eqnarray}$ 2) Standardabweichung einer Stichprobe: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 } \end{eqnarray}$ Anwendungsfall: Eine Schulklasse schreibt eine Klausur. Handelt es sich bei den Noten nun um eine Stichprobe oder um eine Grundgesamtheit? Anders ausgedrückt: Mit welcher Formel muss man in diesem Fall die Standardabweichung berechnen und warum? Besten Dank!
12.08.2010, 18:46	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standardabweichung bei Schulnoten http://www.matheboard.de/archive/48630/thread.html http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung Die zweite Formel im Quadrat ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz. Die Standartabweichung wird nach der Jensenschen Ungleichung unterschätzt. Tauschst du dann noch n-1 durch n dann wird der Wert noch kleiner ... obwohl er schon unterschätzt wurde.
12.08.2010, 20:40	karlheinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle n Klausurnoten bilden doch die Grundgesamtheit. Würde ich davon nun eine Stichprobe nehmen von k < n. Dann müsste ich erst den Erwartungswert schätzen und könnte dann die Varianz mit $\begin{eqnarray} T_k=\frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^k(x_i-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ erwartungstreu schätzen. Wenn ich aber die gesamte Grundgesamtheit habe, dann schätze ich den Erwartungswert doch nicht, sondern bestimme ihn genau. Dass gleiche gilt dann für die Varianz der Grundgesamtheit, oder? So dass ich die Varianz der Noten für diese Klausur nicht schätze, sondern per $\begin{eqnarray} Var(Noten)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ bestimme. Wenn ich allerdings die Varianz der Klausurnoten aller Klausuren im Fach Sport schätzen will, dann hätte ich mit den vorliegenden Ergebnissen nur eine Stichprobe und wäre mit dem erwartungstreuen Schätzer besser beraten. Korrigiert mich, wenn ich falsch liege.
12.08.2010, 21:48	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wirft grundsätzliche Fragen auf ... Wenn ich einen sechsseitigen Laplace-Würfel habe und in einem Spiel dreimal würfle ... ist dann der Mittelwert dieser drei Würfe auch der Erwartungswert? Bsp.: Ich werfe $\begin{eqnarray} X_1=2, X_2=4, X_3=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => \bar{X}=\frac{7}{3} \neq 3,5 = E(X) \end{eqnarray}$ Wie ist also die "Verteilung" dieser Klausurergebnisse ... und hast du wircklich alle (d.h. die Grundgesamtheit) oder doch nur einen Stichprobenumfang. Oder bist du nur an der bedingten Wahrscheinlichkeit für die Klausurergebnisse unter der Vorraussetzung das du eine ganz bestimmte Klasse betrachtest interessiert? Dann stellt sich die Frage ob der erwartungswert bei obigem Würfel-Spiel unter der Bedingung das sie von mir geworfen wurden doch 7/3 und nicht 7/2 war??? Aber prinzipiell hast du recht: Ist der Erwartungswert bekannt, so verwendet man $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2 \end{eqnarray}$ ist er es nicht so verwendet man $\begin{eqnarray} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ nur ist er dies meistens nicht... wie das würfel-spiel hoffentlich näher gebracht hat.

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