Monotonie > Maximum / Schritte richtig verstanden

12.08.2010, 13:04

pablosen

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Monotonie > Maximum / Schritte richtig verstanden

Hallo liebes Forum

Ich wäre froh, wenn ihr mir folgendes, falls nötig, berichtigen und die letzte Frage beantworten könntet. Ich beziehe mich auf das angehängte Bild.

1.Schritt: Da 1 der höchte Wert ist, den $\begin{eqnarray*} cos(s) \end{eqnarray*}$ annehmen kann, wird das Zeichen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ gesetzt. Das ist an sich nicht schwierig, schon öfters gemacht.

2.Schritt: Da das Minimum der Funktion gesucht wird, wird 0 gewählt. Am Funktionswert 0 hat die Funktion innerhalb den Betragsstrichen den kleinsten Wert.
Auch weil die Funktion monoton wachsend ist, können die Werte ja nur ansteigen, wenn sie nicht gleich bleiben, und somit kann 0 gewählt werden.

3.Schritt: Hier müsste ich raten. Warum wird da $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gesetzt?

Grüsse euch
Pablo

12.08.2010, 13:10

Iorek

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In der Rechnung wird das Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ angesprochen, welches Intervall ist das?

12.08.2010, 13:31

pablosen

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Zitat:

Original von Iorek
In der Rechnung wird das Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ angesprochen, welches Intervall ist das?

siehe angehängtes Bild.

Die Aufgabe ist aber, das Intervall zu berechnen. Wie man auf 0 kommt, habe ich ja begriffen (ihr habt mich bisher nicht korrigiert).

Aber wie kommt sie auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ohne raten?

12.08.2010, 13:37

Iorek

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Könntest du bitte mal die Aufgabenstellung posten? Was ist jetzt genau gegeben, was soll gemacht werden, wie ist die Funktion definiert?

12.08.2010, 13:51

pablosen

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Danke.

Ich habe die Aufgabe gepostet, siehe Anhang. Wie oben erwähnt, verstehe ich an der Lösung den Schritt 3 immer noch nicht.

Die Aufgabe ist aber Numerik. Meine Frage bezieht sich aber auf Analysis.

Bitte nicht verschieben!

Warum wird $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gesetzt? Schritt 3

12.08.2010, 13:53

tmo

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Ich schätze mal irgendwie auf Nullstellenberechnung mit dem Newtonverfahren.

edit: Richtig geraten.

Die Frage ist eher: Was spricht gegen Pi/2 als rechte Intervallgrenze?

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12.08.2010, 13:57

Iorek

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Zitat:

Original von tmo
Ich schätze mal irgendwie auf Nullstellenberechnung mit dem Newtonverfahren.

Da hast du wohl Recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ich mit dem Newtonverfahren nicht sooo vertraut bin, würd ich hier auch gerne an dich abgeben wenn du Zeit hast? smile

smile

12.08.2010, 14:11

tmo

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Ich habe nicht wirklich Zeit, bin in 15 min weg. Allerdings ist der Fragesteller grade auch nicht da.

Ich kann ihm nur noch ans Herz legen, dass er vielleicht mal schreiben sollte, welche hinreichenden Kriterien er denn für die Konvergenz des Newtonverfahrens kennt.

12.08.2010, 14:35

tigerbine

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Bitte nicht nur Scans. Tipp die Formeln doch ab.

$\begin{eqnarray*} f(x):=x^3+x-\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x):=3x^2+1+\sin(x) \end{eqnarray*}$

=> Welche Argumente sprechen dafür, dass es sich um eine einfache Nullstelle handelt? Gibt es noch weitere?

Nun können wir die gesuchte Nullstelle x* schon eingrenzen. Wir müssen das aber soweit tun, dass der Forderung nach Quadratischer Konvergenz genüge getan ist.

Dazu müssen wir die erste und zweite Ableitung auf einem Intervall abschätzen. Insgesamt muss dort gelten

$\begin{eqnarray*} |x_{k+1}-x^*| && \leq \frac{M}{2m} \cdot |x^*-x_k|^2 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} m:=\min_{x \in [a,b]}~|f'(x)|>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M:=\max_{x \in [a,b]}~|f''(x)|< \infty \end{eqnarray*}$

Woher hast du nun das Intervall? War das in einer Musterlösung gegeben? Ich denke, du sollst das bestimmen? Oder "ein mögliches" Intervall bestimmen.

12.08.2010, 15:23

pablosen

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Hallo tigerbine

Ja, danke. Ich würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} <br /> M(\epsilon):=max|\frac{f^{''}(s)}{2f^{'}(t)}|=\frac{max|6s+cos(s)|}{2*min|(3t^2+1+sin(t))|} <br /> \underbrace{\leq}_{cos(s)\leq 1 ; ...immer} \frac{max|6s+1|}{2*min|(3t^2+1+sin(t))|}<br /> \underbrace{=}_{t=0 ; Funktion unten muss klein sein} \frac{max|6s+1|}{2*min|(1)|}<br /> \underbrace{=}_{ausklammern} \frac{max|6s+1|}{2}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

min|| sagt ja, das betr.mässig kleinste. Und mit dieser Begründung kann ich doch t=0 setzen ? Ist doch richtig oder?

Aber wie bekomme ich jetzt s ?

Zitat:

=> Welche Argumente sprechen dafür, dass es sich um eine einfache Nullstelle handelt? Gibt es noch weitere?

Weiss ich nicht, ich könnte höchstens die geplottete Funktion kommentieren.

Zitat:

Woher hast du nun das Intervall? War das in einer Musterlösung gegeben?

Ja.

Zitat:

Ich denke, du sollst das bestimmen? Oder "ein mögliches" Intervall bestimmen

Ja, ich würde es auch gerne selbst bestimmen, wenn ich es nur könnte.

Wg. dem Abtippen, sry...

Grüsse&Danke

12.08.2010, 16:51

tigerbine

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Wenn du t gleich 0 wählst, was sagt das über dein Intervall dann aus? Wie muss du s wählen? Muss es pi/2 sein? Welchen Vorteil hat pi/2?

12.08.2010, 18:17

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Wenn du t gleich 0 wählst, was sagt das über dein Intervall dann aus?[/latex]Dass t links ist bzw. der kleinere Wert?[quote] Wie muss du s wählen? Muss es pi/2 sein?

Links ist 0? Das Intervall beginnt bei 0?

Zitat:

Welchen Vorteil hat pi/2?

Ich weiss, dass pi die Kreiszahl ist und ok, ich probiere noch ein bischen rum, wenn das gefordert ist:

... leider ohne Ergebnis bisher. Ich habe folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{4})=+\sqrt{2}<br /> cos(\pi/2) = 0<br /> cos(\frac{3\pi}{4})= -\sqrt{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Sel

Was muss ich tun ?

12.08.2010, 18:19

tigerbine

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Es muss nicht pi/2 sein. Das sollte dir mein Links, was man unter quadr. Konvergenz versteht gezeigt haben. Warum hat sie es genommen? WS, weil. man den cosinus da so schön auswerten kann um nachzuweisen, dass die Funtkion in dem Intervall [0,pi/2] mind. eine Nst hat.

12.08.2010, 18:27

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Es muss nicht pi/2 sein. Das sollte dir mein Links, was man unter quadr. Konvergenz versteht gezeigt haben. Warum hat sie es genommen? WS, weil. man den cosinus da so schön auswerten kann um nachzuweisen, dass die Funtkion in dem Intervall [0,pi/2] mind. eine Nst hat.

Was ist mit WS gemeint?

Okay, ja klar, es muss nicht pi/2 sein, es könnte hier sogar eine sehr grosse Zahl sein, habe ich recht? Die Bed. sind immer noch erfüllt(?).

Und was sagst du jetzt zur (meiner) Rechnung oder wie würdest du das jetzt lösen mit dem $\begin{eqnarray*} M(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2010, 18:29

tigerbine

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WS= wahrscheinlich. Was soll ich nun noch lösen? Es muss doch nur s gewählt werden....und das haben wir doch schon getan... verwirrt

verwirrt

Zwischenwertsatz liefert eben die Begründung für die Nullstelle.

Zeig nochmal die Musterlösung.

12.08.2010, 18:35

pablosen

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Stimmt, Nullstellensatz von Bolzano.

Ich versuchs jetzt nochmal betreffend des angehängten Bildes:

Schritt 1: $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ ist für alle x-Werte $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , klar.

Schritt 2: Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |3t^2 + 1 + sin(t)| \end{eqnarray*}$ ist am kleinsten, wenn $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$

Schritt 3: Okay, scheint so gewählt zu sein, weil mit Teiler von Pi ists einfach zu rechnen mit cos().

Aber bei Schritt 3 könnte ich, wie erwähnt, auch eine sehr hohe positive Zahl als t nehmen, die Bedingungen sind ja glaubs immer noch erfüllt... ?

Grüsse&Danke Tigerbine

12.08.2010, 18:39

tigerbine

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Du hast es immer noch nicht ganz. Die Argumentation geht doch rückwärts. Du musst zuerst das Intervall wählen. Dann t und s. Und für das Intervall muss gelten:

a) Die Nullstelle ist drin

b) die Abschätzung für quadr. Konvergenz ist erfüllt.

Mit Lösung meinte ich das, wo sie/er das Intervall gewählt hat.

12.08.2010, 19:36

pablosen

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Er/Sie hat die angehängte Lösung.

Also ich wähle das Intervall $\begin{eqnarray*} [0:\frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ .

Dann mache ich die Rechnung mit $\begin{eqnarray*} M(\epsilon) = ... \end{eqnarray*}$ .

Und dann berechne ich das Epsilon und bekomme das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} I_\epsilon = \{ x \in \mathbb{R};|x-x_*| < \epsilon , \epsilon = \frac{1}{3\pi +1} \} \end{eqnarray*}$

Okay.... und s sowie t sind doch die Anfangs- / Endpunkte des "Anfangsintervalls" bzw. des Intervalls am Anfang.

Bekommst noch gesamte Lösung per PM.

Die Idee ist wahrscheinlich, dass das Newton-Verfahren erst innerhalb dieses kleinen Intervalls $\begin{eqnarray*} I_\epsilon \end{eqnarray*}$ anfängt, quadratisch zu konvergieren ? Auch falsch...?

Grüsse

12.08.2010, 19:45

tigerbine

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1. pi halbe wegen Nulstelle und weil es so schön aufgeht mit cos.

2. M bestimmen -> Abschätzungen.

3. Es muss aber auch noch gelten, dass quadr. Konvergenz vorliegt. Da habt ihr wohl einen Satz zu, was das dann für das M bedeutet. Do klein muss man halt das Interval um x* wählen. Den Schritt musst du noch nachrechnen.

12.08.2010, 19:52

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
1. pi halbe wegen Nulstelle und weil es so schön aufgeht mit cos.

2. M bestimmen -> Abschätzungen.

3. Es muss aber auch noch gelten, dass quadr. Konvergenz vorliegt. Da habt ihr wohl einen Satz zu, was das dann für das M bedeutet. Do klein muss man halt das Interval um x* wählen. Den Schritt musst du noch nachrechnen.

Ja, dann kommt man auf ein Intervall innerhalb dieses grossen Intervalls, in welchem dann das Newton-Verfahren mit einem $\begin{eqnarray*} x_o \in I_\epsilon \end{eqnarray*}$ quadr. konvergiert. Ich glaube, ich habs mal. Der Satz ist also soweit mal klar.

Ich suche irgendwie immer noch einen Grund, warum man bei Schritt 3 (rot markiert) s auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wählt. Wenn das nicht damit begründet ist, dass s einfach der Endpunkt des am Anfang gewählten Intervalls ist, was ist es dann? Hmm...

12.08.2010, 20:41

tigerbine

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Interval, guck dir dir Funktion an. Wo wird das Maximal? Am rechten Rand.

14.08.2010, 08:43

pablosen

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Zitat:

Original von tigerbine
Interval, guck dir dir Funktion an. Wo wird das Maximal? Am rechten Rand.

Danke, ja, meinte ich. Man setzt t aufs Minimal und s aufs Maximal vom gewählten Intervall.

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