Differentiale / Integralzeichen "kürzen"

12.08.2010, 13:52

haffael

Differentiale / Integralzeichen "kürzen"

Okay, hab hier was aus der Elektrotechnik, und hab versucht das etwas "schlau" zu vereinfachen, aber da ist ein Fehler drin..

Hiermit starte ich:

$\begin{eqnarray*} U(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \iint B(t)\;\dd A \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} A = A_0 \cos (\omega_2 t) \end{eqnarray*}$

Dann hab ich mal so weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} \dd A = - A_0 \sin (\omega_2 t) \omega_2 \; \dd t \end{eqnarray*}$

in U eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} U(t) = \frac{\dd}{\dd t} \int B(t) A_0 \sin (\omega_2 t) \omega_2 \; \dd t \end{eqnarray*}$

So, und jetzt hab ich mir gedacht, wenn ich irgendwas nach der Zeit integriere und dann wieder nach der Zeit ableite, hab ich doch im Endeffekt nichts verändert.

Also:

$\begin{eqnarray*} U(t) = B(t) A_0 \sin (\omega_2 t) \omega_2 \end{eqnarray*}$

Stimmt aber dann im weiteren Verlauf der Rechnung nicht, wenn ich eine konkrete Funktion für B(t) einsetze. Da fehlt irgendwo eine Ableitung, die Lösung sieht zumindest verdächtig danach aus. Hat das damit zu tun dass im Integral zwei von t abhängige Faktoren drinstehen? Kann mir das grade nicht recht zusammenreimen. Wenn ich genau das selbe differenziere und dann wieder integriere, wird doch Produktregel genauso einmal vorwärts und einmal rückwärts ausgeführt...

Wäre nett wenn jemand meinen Denkfehler finden würde

Grüße

12.08.2010, 14:06

mYthos

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Das innere Integral muss zuerst berechnet werden. Und darin hast du zunächst einmal $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ durch den bei der Differentiation entstehenden Ausdruck nach $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ ersetzt. Das äußere Integral (nach t) bleibt dabei bestehen und kann erst berechnet werden, wenn du die Funktion für B(t) explizit einsetzt.

$\begin{eqnarray*} \ldots = A_0 \omega_2 \int B(t) \sin(\omega_2t) \dd t \end{eqnarray*}$

mY+

12.08.2010, 14:27

haffael

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ja? Hmm. Doch zwei Integrale...
irgendwie hab ich das nie richtig verstanden mit den Differentialen. Die wurden irgendwann in der Schule eingeführt beim Integral, aber kein Wort was das eigentlich genau bedeutet und wie man mit den Dingern umgehen kann.

Ich hätte jetzt mal so überlegt:
Bei einer Fläche gibt es ein Doppelintegral, weil die Funktion von zwei Raumrichtungen abhängig ist. Deswegen muss ich auch zweimal Integrieren. Wenn ich die Änderung der Fläche jetzt aber durch die Änderung der Zeit ausdrücke statt durch Änderung der Raumrichtungen, hab ich doch keine zwei Abhängigkeiten, sondern nur eine. Deswegen auch nur ein Integral.
Bitte korrigier mich Augenzwinkern

Grüße

12.08.2010, 15:04

Leopold

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RE: Differentiale / Integralzeichen "kürzen"

Zitat:

Original von haffael
$\begin{eqnarray*} U(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \iint B(t)\;\dd A \end{eqnarray*}$

Du mußt diese Aufgabe erst einmal sauber stellen. Du verwendest $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ , was üblicherweise als zweidimensionales euklidisches Flächenelement $\begin{eqnarray*} \dd A = \dd (x,y) = \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ interpretiert wird. Kurz danach legst du aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Funktion einer Variablen, nämlich der Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ fest.

Zitat:

Original von haffael
$\begin{eqnarray*} A = A_0 \cos (\omega_2 t) \end{eqnarray*}$

Ja was nun? Geht es hier um ein Doppelintegral oder ein Einfachintegral?

12.08.2010, 15:45

haffael

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RE: Differentiale / Integralzeichen "kürzen"
Das ist mein Problem... keine Ahnung

Bei mir ist das A als Funktion von t ist nur die "effektive Fläche", denn die Leiterschleife dreht sich im B-Feld. Deswegen hatte ich auch die Vektoren weggelassen und statt der gerichteten Fläche die "effektive" Fläche benutzt, die das B-Feld anströmt. Sollte ja auch egal sein.

Wenn ichs mit Vektoren mache und einfach das Skalarprodukt auflöse, hab ich das dastehen.

Fluss $\begin{eqnarray*} \Phi = \iint \vec B(t) \cdot \vec{\dd A} \end{eqnarray*}$
Induktionsspannung
$\begin{eqnarray*} U(t) = - \frac{\dd \Phi}{\dd t} = - \frac{\dd \Phi}{\dd t} \iint \vec B(t) \cdot \vec{\dd A} = - \frac{\dd}{\dd t} \iint B(t) \, \dd A \, \cos \alpha = - \frac{\dd}{\dd t} \iint B(t) \, \cos (\omega_2 t)\, \dd A \end{eqnarray*}$

So, und dann?
Ich hätte jetzt wieder probiert dA durch dt auszudrücken, damit ich überhaupt irgendwas tun kann. Aber wie? dA/dt * dt ist ja 0. Und ich hätte außerdem wieder nur ein Differential. dA = dx dy kenne ich, und dass daher dass Doppelintegral kommt kann ich mir auch vorstellen. Aber das bringt mir hier überhaupt nix.
Im Moment zweifel ich an mir selbst ^^ Ich mach da irgendwas grundlegend falsch
Hat da jemand nen Tipp zum nachlesen? Ich finde nirgendwo was ordentliches.. Das was ich finde weiß ich eigentlich alles schon

12.08.2010, 16:36

haffael

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RE: Differentiale / Integralzeichen "kürzen"
schlagt mich, die Lösung steht da und ich seh sie nicht..

$\begin{eqnarray*} U(t) = - \frac{\dd}{\dd t} \iint B(t) \, \cos (\omega_2 t)\, \dd A = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{\dd}{\dd t} \iint \dd A \; B(t) \, \cos (\omega_2 t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - A \cdot \frac{\dd}{\dd t} \left[ B(t) \, \cos (\omega_2 t)\right] \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich sollte mal pause machen Augenzwinkern

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