Injektivität und Surjektivität |
| 12.08.2010, 20:16 | schatzimoor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Injektivität und Surjektivität Also ich hab folgendes Problem: Diese Funtion ist gegeben: f(x)= ln(x^2 +1); R -> R Zu berechnen sind Injektivität und/oder Surjektivität und die Umkehrfunktion. Als Umkehrfunktion habe ich f(x)=(e^x -1)^(1/2) Nun die Injektivität: also f(x) ist injektiv, wenn f(x)=f(y) -> x=y, oder? Aber dann ist ja meine Funktion theoretisch injektiv (was sie nach dem Graphen nicht sein kann), weil ln(x^2 +1) = ln(y^2 +1) / e x^2 +1 = y^2 +1 /-1 x^2 = y^2 /^(1/2) x = y Nun überprüfe ich und setze mal 3 und -3 in f(x): ist in beiden Fällen ln(4)!!! Was mache ich falsch? Und wie mache ich die Surjektivität? Also mir ist die Definition schon klar und ich verstehs auch und kanns mit einem Graphen genau sagen, ob ne Funktion surjektiv ist. Aber wie beweise ich das im mathematischen Sinne? Gibts da ne Kochrezept? Vielen Dank im voraus! |
||||||
| 12.08.2010, 20:34 | Nublär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du musst erst auf bijektivität testen, bevor du funktion umkehrst. deine letzte zeile sagt dir diesbezüglich etwas aus btw: plotte dir mal die funktion, was fällt dir auf? zudem n kleiner hinweis: |
||||||
| 12.08.2010, 20:42 | schatzimoor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hat die Funktion keine Umkehrfunktion, da sie nicht bijektiv ist, richtig? Nach dem Graph ist sie weder Surjektiv noch Injektiv, das sehe ich und ich verstehe auch warum, aber warum komm ich dann rechnerisch trotzdem darauf, dass die Funktion injektiv ist?!?!?! liegt es daran, dass ich das + - vergessen habe??? Da beim wurzelziehen bei meiner gleichung... Aber bleibt immernoch wie ich die surjektivität beweisen soll/kann! |
||||||
| 12.08.2010, 20:47 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Injektivität und Surjektivität
Du beantwortest es doch schon selbst. Du zieht einfach die Wurzel auf beiden Seiten und ignorierst dabei, dass es jeweils zwei Lösungen gibt. x²=4 heißt nicht, dass x=2 ist, sondern dass entweder x=2 oder x=-2 ist. Und damit bist du doch schon so gut wie fertig. Gib einfach zwei verschiedene Werte für x an, denen der gleiche Funktionswert zugeordnet wird. Wenn du ein solches Beispiel findest, bist du fertig. Dann ist f nicht mehr injektiv. Wie sowas aussehen kann, hast du schon selbst gezeigt.
Nimm dir ein beliebiges Element y aus der Bildmenge Y und zeige, dass es ein Element x in der Definitonsmenge X gibt, das unter f auf y abgebildet wird, also es für alle y ein x mit f(x)=y gibt. Oder gib ein konkretes Gegenbeispiel an (das ist hier nicht schwer). Was für einen Wert kann denn ln(x²+1) zum Beispiel auf keinen Fall annehmen? Findest du irgendeinen? Beachte, dass die Bildmenge ja ganz R sein soll. Also muss auch ganz R getroffen werden, damit f surjektiv ist. |
||||||
| 12.08.2010, 20:57 | schatzimoor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also würde ja theoretisch schon reichen: ln(x^2+1) > 0 für alle x € R => nicht surjektiv Oder reicht das als Beweis nicht aus? Hab das mit den + - auch erst im nachhinein gemerkt (nach ca. 1std 
)Also muss ich Surjektivität immer durch einen Widerspruch beweisen/widerlegen?! |
||||||
| 12.08.2010, 21:05 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, das ist in Ordnung. Allerdings nicht größer null, sondern größer gleich null, denn f(0)=ln(1)=0 und 0 ist ja auch in R, gell? 
Wenn die Funktion nicht surjektiv ist, gibt man üblicherweise ein Gegenbeispiel an, ja. Wenn f surjektiv ist, musst du das dann eben zeigen. Üblicherweise nimmt man sich dann ein beliebiges Element y aus der Bildmenge und zeigt eben, dass es dazu auch ein Element in der Definitionsmenge gibt, das unter f auf y abgebildet wird. Wir haben hier nun gezeigt, dass nicht surjektiv ist. Eine kleine Veränderung: und plötzlich ist f wieder surjektiv, weil die Bildmenge eben nicht mehr ganz R, sondern nur noch R+ ist (also alle nichtnegativen reellen Zahlen). Und da kannst du Surjektivität nachweisen. Nimm ein beliebiges und zeige, dass es ein gibt mit . |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|