Existenz eines uneigentlichen Integrals zeigen |
13.08.2010, 01:04 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Existenz eines uneigentlichen Integrals zeigen ich habe folgende aufgabe gefunden: und möchte nun zeigen dass das uneigentliche integral existiert/nicht existiert. Idee: Ich schaue mir an für welche argumente der nennernull werden kann, da dies kritische punkte für die funktion werden könnten. ln(1) = 0 . so... nun bin ich mir nicht sicher,was genau der prof an der tafel gemacht hat und wieso. was ich mir zusammenreimen kann ist,dass er geprüft hat wie sich der ln für x-> 1 verhält,also: \lim_{x \to 1} ln(x) daraufhin hat er gemeint,dass er nun prüfen muss ,ob die funktion beschränkt ist,weil *nicht verstanden hat was er sagte * ... ... so und ab jetzt bin ich mir wirklich nicht mehr sicher und wär für eine führende hand sehr dankbar =) liebe grüße teeps |
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13.08.2010, 10:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit der Substitution kannst du die Rechnung etwas vereinfachen. Es gilt, zunächst rein formal: Das ist so zu verstehen: Entweder konvergieren beide Integrale und haben denselben Wert, oder es divergieren beide Integrale. Du kannst dich daher auf die Untersuchung des zweiten Integrals beschränken. Jetzt betrachte die Funktion und bestimme die lineare Funktion für die Tangente an den Graphen bei . Gewinne daraus eine Abschätzung für das Integral oben. Eine Skizze der Funktionsgraphen hilft. |
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13.08.2010, 12:11 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alternativ geht auch die Abschätzung das rechte Integral besitzt jetzt eine elementare Stammfunktion. Wenn es bestimmt divergiert, so muss auch das ursprüngliche divergieren. |
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13.08.2010, 16:08 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hallo=)
erste frage dazu : wie kommst du durch die substitution auf die form des integranden rechts? bei mir kommt etwas heraus wie :
ich bin nach einem satz aus meinem skript gegangen und habe getestet ob: existiert. also : = ln(ln(2)) - = -0.366.... + dh die rechte kleinere seite ist bestimmt divergent gegen + dh die linke größere seite divergiert definitiv auch. richtig? dh das uneigentliche integral mit unbeschränktem integranden existiert nicht. |
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13.08.2010, 21:25 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Edit: Vielleicht noch etwas zu früh für meine Ergänzung... Sorry. Hab's giles mal per pn geschickt. Nur falls du es verwenden willst... |
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13.08.2010, 22:08 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hast dich wohl etwas verschrieben und es soll heißen der Ansatz ist aber genau der richtige!
Etwas schöner ( ) wäre sowas aufzuschreiben etwa wie
Genau |
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13.08.2010, 22:42 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
O.k., wenn das geklärt ist. Dann schreib ich jetzt doch noch meine ergänzende Idee hier rein. Es ist ja bekannt (von der Ableitung), dass Daraus kann man schliessen, dass es ein gibt, so dass wenn nur ist. Deshalb hat man die Abschätzungskette Und, dass für beliebiges nicht konvergiert, dürfte bekannt sein. Gruss |
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13.08.2010, 23:59 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok das muss ich mir nochmal genauer ansehen... mit epsilon-umgebungen und abschätzungen steh ich irgendwie noch auf kriegsfuss... wirken für mich leider immernoch undurchdringbar... =) danke schonmal bis hierhin! liebe grüße |
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14.08.2010, 14:04 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hey, ich hab nochmal eine aufgabe,aber etwas anders wir haben ja nun die existenz für ein integral mit nicht-unendlichen grenzen aber mit unbeschränktem integranden gezeigt. die abschätzung ist mir auch soweit klar. aber wie würde ich mir nun eine abschätzung überlgene wenn ich uneigentliche integrationsgrenzen habe? dieses integral muss ich ja teilen : und jeweils davon den grenzwert bilden. nun würd ich auch gerne abschätzen mit einem integral das eben einfacher zu berechnen ist,wie du das oben gemacht hast. muss aber ganz ehrlich sagen mir fehlt ein wenig die vorstellung: wenn ich das erste abschätzen möchte,brauch ich ja ein integral das "größer" ist als das jetzige.dann kann ich schauen,ob es gegen - unendlich läuft,wenn ja ,dann divergiert das kleinere ja auch. so...und da is der knackpunkt.. mir will kein einfacheres integral einfallen... vllt stell ich mich blöd und habs in 10 minuten wieder gefunden..aber gerade steh ich im wald:/ |
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14.08.2010, 14:05 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mh... ich glaub ich muss das am nullpunkt teilen,dann kann ich den betrag weglassen... |
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14.08.2010, 14:23 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sry etwas durcheinander ...:) @ergänzende idee [ quote]Original von gonnabphd O.k., wenn das geklärt ist. Dann schreib ich jetzt doch noch meine ergänzende Idee hier rein. Es ist ja bekannt (von der Ableitung), dass [/quote] wo hast du die ableitung her ? |
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14.08.2010, 18:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit für folgt
??? Sollte es im Exponenten nicht eher statt heißen? Im zweiten Fall wäre der Integrand ja unbeschränkt für . Beachte auf jeden Fall, daß der Integrand eine gerade Funktion darstellt. Es genügt daher, das Integral für das Intervall zu untersuchen. |
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14.08.2010, 21:39 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei solchen Aufgaben überlege ich mir immer, "wie sich der Integrand in den Grenzen verhält". z.B. ist für grosse x so wie (denn der exponentielle Teil ist ja ausschlaggebend). Das könnte einen dann auf die Idee bringen, den Integranden folgendermassen umzuschreiben: Also gibt es ein , sodass für gilt: Wenn x nah bei Null ist, sieht man, dass das ganze Integral sich ähnlich verhält, wie und kann auch da geeignet abschätzen. Gruss. |
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14.08.2010, 21:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und man kann sogar den Wert des uneigentlichen Integrals angeben. Durch Zurückführen auf das Gaußsche Fehlerintegral findet man |
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14.08.2010, 22:27 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sehr schön. Noch ein ganz spezielles Zückerchen oben drauf. |
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15.08.2010, 18:48 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mh... wie du auf die sache mit A kommst versteh ich nicht.für mich steht da ein ausdruck der gegen null geht,das seh ich. die umformung mit war doch auch "bloß" der deutlichkeit halber,stimmts? wie kommst du nun auf die aussage,dass ,weil der ausdruck gegen null streibt,also (an sich einen grenzwert besitzt ,also nicht unbeschränkt ist) ein A existiert mit den von dir genannten eigenschaften? bin da irgendwie noch etwas ... phantasielos. (an dieser stelle @leopold: ja hab mich verschrieben .=) sry) danke euch beiden schonmal.das man bei geraden integranden nur eine seite betrachten muss ist schonmal eine nette neue info=) |
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15.08.2010, 19:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das gilt doch schon nach Definition vom Limes, bzw. wegen der Tatsache, dass .
Naja, die braucht's schon, damit man zeigen kann, dass die Abschätzung gilt für hinreichend grosses A gilt. |
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15.08.2010, 19:48 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok danke=) |
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16.08.2010, 14:52 | liliteeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich nochmal =) so ich hab das nun (glaube ich) ein wenig anders gelöst als du ,aber mit der abschätzung reicht es nun zu zeigen das eines der vier sich ergebenden integrale existiert? ich muss ja aufgrund der symmetrie sowieso nur eines aus jedem Def-bereich testen,oder? |
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