Basisvektor bestimmen

13.08.2010, 00:10

tobsen02

Basisvektor bestimmen

Hallo erstmal Wink

Zur Vorbereitung auf mein Studium habe ich ein paar Übungsaufgaben durchgearbeitet, wobei mir bei einer Aufgabe zu Vektorräumen die Lösung nicht so recht einleuchten wollte. Im Grunde geht es um folgendes Problem:

Zitat:

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ seien folgende Vektoren gegeben:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{1}} \end{eqnarray*}$ = (1; -1; 2) und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{2}} \end{eqnarray*}$ = (2; 0; 3)

a) $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{3}} \end{eqnarray*}$ = (x; y; z) sei ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Geben sie eine allgemeingültige Bedingung für (x; y; z) an, sodass $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ = { $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{a_{3}} \end{eqnarray*}$ } eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist. Nennen sie ein Beispiel für x = 1.

So schwer sieht die Aufgabe ja nicht aus, man muss ja immerhin nur einen Vektor finden, der orthogonal auf den beiden gegebenen Vektoren steht, d.h. Kreuzprodukt oder ein Gleichungssystem lösen. Ich habe mich für das Gleichungssystem entschieden.

x - y + 2z = 0
2x + 3z = 0

Als Normalenvektor (die Basisvektoren müssen ja immerhin linear unabhängig sein) habe ich dann $\begin{eqnarray*} z = 2y \end{eqnarray*}$ und z = $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3}x \end{eqnarray*}$ . Heißt dann $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{3}}= (c; -\frac{1}{3}c;-\frac{2}{3}c) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut dachte ich mir. In der Lösung der Aufgabe wurde nun der dritte Basisvektor mit der Determinante der Matrix berechnet.
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren unabhängig und somit wären sie die gesuchte Basis.

-3x + y + 2z != 0

Der Autor argumentiert nun, dass man, um die Ungleichung zu erfüllen, einfach y und z gleich Null setzen kann, womit die Bedingung für x = 1 erfüllt wäre.
Was mir aber nicht einleuchten will ist folgendes: Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein und somit orthogonal aufeinander stehen, d.h. sowohl das Skalarprodukt von a1 mit a3 als auch das Skalarprodukt von a2 mit a3 müsste Null ergeben, was bei dem Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a_{3}}]= (1; 0; 0) \end{eqnarray*}$ ja nicht der Fall ist. Entweder stehe ich gerade mächtig auf dem Schlauch oder es ist ein Fehler in der Lösung. verwirrt

13.08.2010, 00:21

Bjoern1982

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Zitat:

Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein und somit orthogonal aufeinander stehen...

Hier liegt glaube ich der Knackpunkt, denn dass linear unabhängig gleichzeitig bedeutet, dass Orthogonalität vorliegen muss, ist ein gewaltiger Trugschluss Augenzwinkern

Schau dir nochmal genau die Definition von linear unabhängig an.

13.08.2010, 10:22

Bullet1000

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In Zweifelsfalle hilft auch immer das

Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren

13.08.2010, 10:23

tobsen02

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Oh verdammt. Der dritte Vektor muss ja nur aus der gebildeten Ebene von a1 und a2 "herausragen", aber ob er orthogonal zu dieser Ebene ist, ist für die lineare Unabhängigkeit egal. Da hab ich wirklich auf dem Schlauch gestanden, aber vielen Dank für die Hilfe smile

13.08.2010, 10:32

Bjoern1982

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Genau, es geht also nur darum dass die 3 Vektoren linear unabhängig sein müssen.
Und ein in diesem Fall recht unkomplizierter Weg das zu prüfen wäre z.B. der Weg über die Determinante.
Damit steht die Bedingung dann auch direkt da.

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