Partielle und Richtungsableitung

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle und Richtungsableitung
Hallo

Ich habe die Funktion mit



Nun soll ich untersuchen, in welchen Punkten f partiell differenzierbar ist, in welchen Punkten sämtliche Richtungsableitungen existieren und ob f im Nullpunkt differenzierbar ist.

Ich habe folgendes überlegt:

- Sei , dann ist als rationale Funktion differenzierbar auf M und da M offen ist, ist auch f auf M differenzierbar. Damit existieren auf die partiellen Ableitungen (und sind stetig) und f ist auf M auch in alle Richtungen v (natürlich mit ||v||=1) differenzierbar.

- Auf M sind

und
analog (habe das nicht ausgerechnet, um die Zeit für die problematischeren Dinge einzusetzen)

- Ich untersuche die partiellen Ableitungen im Nullpunkt.




Die Grenzwerte für diese beiden partiellen Ableitungen existieren nicht, da sich jeweils der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert unterscheiden. Also ist f im Nullpunkt nicht partiell differenzierbar und damit auch nicht differenzierbar.

- Ich untersuche nun noch die Richtungsableitungen in Richtung v im Nullpunkt. Dazu seien und . Es gilt: .

Dabei ist
und somit

Diese Ableitung existiert für t=0 und es gilt


Dieses Ergebnis finde ich nun aber etwas seltsam: Wenn dem so wäre, würde das doch heissen, dass f im Nullpunkt in alle Richtungen ableiten könnte, und das, obwohl f im Nullpunkt gemäss den anderen Berechnungen weder partiell noch total differenzierbar ist.

Was ist denn hier falsch gelaufen?

Vielen Dank.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle und Richtungsableitung
Uff. Ich weiß gar nicht, wo ich zuerst anfangen soll. Nun denn.

Zitat:
Original von Philipp Imhof
- Ich untersuche die partiellen Ableitungen im Nullpunkt.




Die Grenzwerte für diese beiden partiellen Ableitungen existieren nicht

Da fehlt die Grenzwertbildung x bzw. y gegen Null. Außerdem verstehe nicht, wieso du bei "0 - y" in den Nenner schreibst. Und wie kommst du dann zu der Aussage, daß die Grenzwerte nicht existieren?

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Dazu seien

Was ist denn das für eine merkwürdige Menge? Aus welchen Elementen mit welchen Eigenschaften soll sie bestehen?

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Dabei ist

Da solltest du dir nochmal die Definition deiner Funktion anschauen.

Im übrigen kann man leicht zeigen, daß die Funktion in (0, 0) nicht stetig ist.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie "klarsoweit" schon gesagt hat.

Zeige, dass die Funktion in Nullpunkt unstetig ist. Daraus folgt automatisch, dass die partiellen Ableitungen nicht existieren.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle und Richtungsableitung
Zitat:

Da fehlt die Grenzwertbildung x bzw. y gegen Null. Außerdem verstehe nicht, wieso du bei "0 - y" in den Nenner schreibst. Und wie kommst du dann zu der Aussage, daß die Grenzwerte nicht existieren?


Das mit dem Nenner war ein Verschreiber. Die Grenzwertbildung hatte ich gemacht, deshalb kam ich zu diesem Schluss, da




Hier erkenne ich keinen Fehler; kannst du mich noch ein bisschen anschieben?

Zitat:
Was ist denn das für eine merkwürdige Menge? Aus welchen Elementen mit welchen Eigenschaften soll sie bestehen?


Das wurde bei uns im Script so definiert. Die Menge J ist hier bildlich gesprochen die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtung v.

Zitat:
Da solltest du dir nochmal die Definition deiner Funktion anschauen.


Es ist und wenn ich das als Argument meiner Funktion nehme, erhalte ich



Nun forme ich den Zähler noch um:



Vielen Dank! Offenbar hatte ich mich da zuvor verrechnet. Damit ist dann auch klar, dass der Fall t=0 und t≠0 nicht mehr gleich sind (was sie mit der falschen Umformung gewesen wären).
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Zeige, dass die Funktion in Nullpunkt unstetig ist. Daraus folgt automatisch, dass die partiellen Ableitungen nicht existieren.


In meinem Script steht: [...] dass der Gradient einer Funktion f an einer Stelle existieren kann (d.h. dass f in diesem Punkt nach jeder Koordinate partiell differenzierbar sein kann), ohne dass die Funktion in diesem Punkt stetig ist.

Das widerspricht deiner Aussage, auch wenn diese für das hier genannte Beispiel stimmen mag.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich kenne das so:

totale diffbarkeit-->partielle diffbarkeit
totale diffbarkeit-->stetigkeit

Also ergibt sich logisch

Wenn deine Funktion in einem Punkt unstetig ist folgt daraus, dass sie dort auch nicht total diffbar ist.

Daraus folgt, dass deine Funktion dort nicht partiell diffbar sein kann.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Die Grenzwertbildung hatte ich gemacht, deshalb kam ich zu diesem Schluss, da




Hier erkenne ich keinen Fehler; kannst du mich noch ein bisschen anschieben?

Was ist denn 0/x für x ungleich Null?

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Das wurde bei uns im Script so definiert. Die Menge J ist hier bildlich gesprochen die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtung v.

Exakt mit deiner Schreibweise? Ich hätte es so geschrieben:



Im übrigen irrt Bullet1000: wenn eine Funktion nicht total differenzierbar ist, kann sie durchaus partiell differenzierbar sein.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist denn 0/x für x ungleich Null?


Für x ungleich Null ist es natürlich Null. Da muss ich wohl irgendwas von früher her falsch gelernt haben, das ich seither nicht mehr gebraucht habe: Ich dachte wirklich, der Grenzwert 0/x für x gegen 0 sei wie geschrieben. Zum Glück hat sich das jetzt aufgeklärt. Lieber spät als nie: Danke!

Zitat:
Exakt mit deiner Schreibweise? Ich hätte es so geschrieben:




Ja, ich habe extra noch einmal nachgeschaut. Ich fand die Schreibweise anfänglich auch komisch, aber sie ist halt kürzer.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Wenn deine Funktion in einem Punkt unstetig ist folgt daraus, dass sie dort auch nicht total diffbar ist.


Richtig.

Zitat:
Daraus folgt, dass deine Funktion dort nicht partiell diffbar sein kann.


Nein. Sie kann partiell diffbar sein, aber mit unstetigen Ableitungen. Es gilt

Partiell diffbar mit stetigen Ableitungen => Total diffbar

aber

Partiell diffbar =/=> Total diffbar
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