isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung

05.11.2006, 19:01

rella

isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung

Hallo,

Ich habe folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 - 3x(x^2 + y^2) + 2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
und ich habe
$\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^2, v \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass die Einschränkung der Funktion f auf die Gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb R v \end{eqnarray*}$ in (0,0) ein isoliertes Minimum besitzt.

Ich weiß, dass ich
1.) die Hesse-Matrix bilden muss und
2.) sie dann auf positive Definitheit überprüfen muss. Wenn sie positiv definit in (0,0) ist, hat sie ein isoliertes lokales Minimum.

Also das ist eigentlich alles kein Problem. Nur was soll ich mit dieser Einschränkung anfangen?

Und wichtig ist für mich vor allem, was bedeutet sie geometrisch?
Diese Einschränkung stelle ich mir so vor:
Ich betrachte den Punkt (0,0). Dort geht der Graph der Funktion f(x,y) durch. Der wird sicherlich wie ein wildes Gebirge aussehen.
Die Einschränkung: Ich betrachte den Graphen in der Nähe von (0,0) und scheide ihn von oben aus in Scheibchen.
Die Aufgabe besteht nun darin, für jedes einzelne Scheibchen zu zeigen, dass (0,0) ein isoliertes lokales Minimum ist.
Ist die Vorstellung ok?

Noch eine Frage: Wozu macht man solche Einschränkungen?
Um nur einen Teil der Funktion zu betrachten?

Ach ja, die Gerade ist definiert als: $\begin{eqnarray*} \mathbb R v := \{ tv: t \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank,
Cindy

05.11.2006, 21:36

Abakus

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RE: isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung

Zitat:

Original von rella
Ich weiß, dass ich
1.) die Hesse-Matrix bilden muss und
2.) sie dann auf positive Definitheit überprüfen muss. Wenn sie positiv definit in (0,0) ist, hat sie ein isoliertes lokales Minimum.

Du kannst ja mal versuchen, das zu zeigen. Von der Formulierung der Aufgabenstellung her könnte es hierbei Probleme geben (?).

Ansonsten setze y =kx bzw. x = 0 (dann hast du alle Geraden durch 0) und betrachte die Funktion auf den "Scheibenschnitten".

Grüße Abakus smile

05.11.2006, 22:14

rella

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RE: isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung
Vorhin hab ich nur den Aufgabenteil a) aufgeschrieben.

Aufgabenteil b)
ist das Berechnen der Hessematrix von f.
Das ist kein Problem. Hab folgende Hesse-Matrix raus:
$\begin{eqnarray*} Hess (f(x,y)) = \begin{pmatrix} 12x^2 + 4y^2 - 18x + 4 & 8xy - 6y \\ 8xy - 6y & 4x^2 + 12y^2 -6x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabenteil c)
ist z.z., das f im Punkte (0,0) kein lok. Minimum ist.
Das mache ich, indem ich (0,0) einsetze. Leider bekomme ich da folgende Matrix raus.
$\begin{eqnarray*} Hess (f(0,0)) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die ist natürlich positiv semidefinit => Sie ist ein lokales Minimum.

Wegen der Formulierung der anderen Aufgabenteile denke ich, dass es funktionieren muss. Tut es ja irgendwie auch. Es gibt keine Brüche, keine Besonderheiten. Es sind ganz schlichte Ableitungen.
Vielleicht kann jemand mal bei der Matrix nachrechnen. Mein Kommilitone kam aber (für sich) auf die gleiche Matrix. Interpretiere ich die Matrix in Aufgabenteil c) einfach falsch?

Deinen Vorschlag mit y =kx bzw. x = 0 werde ich jetzt mal durchrechnen.

Vielen Dank,
rella

05.11.2006, 23:06

Abakus

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RE: isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung

Zitat:

Original von rella
Aufgabenteil c)
ist z.z., das f im Punkte (0,0) kein lok. Minimum ist.
Das mache ich, indem ich (0,0) einsetze. Leider bekomme ich da folgende Matrix raus.
$\begin{eqnarray*} Hess (f(0,0)) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die ist natürlich positiv semidefinit => Sie ist ein lokales Minimum.

Das folgt so nicht. Die Umkehrung ist aber richtig (lok. Minimum folgt positiv semidefinit). (Habt ihr das so gehabt ?)

Grüße Abakus smile

EDIT: bei näherer Untersuchung siehst du, dass f in jeder Umgebung von 0 negative Funktionswerte annimmt

07.11.2006, 22:23

rella

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RE: isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung
Hallo Abakus,

Zitat:

Das folgt so nicht. Die Umkehrung ist aber richtig (lok. Minimum folgt positiv semidefinit). (Habt ihr das so gehabt ?)

Ja, das hatten wir so. Ich habe heute unseren Prof drauf angesprochen und dann viel ihm auf, dass nur die Rückrichtung stimmt. Jetzt bin ich dann auch mit der Aufgabe c) glücklich.

abendliche Grüße,
Cindy

08.11.2006, 18:25

kurze frage

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RE: isoliertes lokales Minimum auf Einschränkung

Zitat:

Original von Abakus
EDIT: bei näherer Untersuchung siehst du, dass f in jeder Umgebung von 0 negative Funktionswerte annimmt

wir hatten auch diese aufgabe und ich hab noch eine frage dazu weil ich nicht mitgekommen bin. Man muss ja zeigen dass die Funktion in (0.0) kein lokales Minimum hat. Und wir hatten zum Minimum folgendes aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung V gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x_0) \leq f(x) \end{eqnarray*}$ für alles x aus V.

es würde also reichen ein gegenbeispiel zu finden. Dh einen Punkt anzugeben so dass $\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)>f(0,0) \end{eqnarray*}$ . Nun wird aber die funktion nie kleiner Null. Wie soll man das deuten? Und wie kann man sonst zeigen dass das kein lokales miimum ist??

08.11.2006, 18:34

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Zitat:

Original von kurze frage
Nun wird aber die funktion nie kleiner Null.

Das stimmt nicht. unglücklich

08.11.2006, 19:07

kurze frage

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Nicht? Ich wünschte mir auch dass es stimmen würde, aber ich hab alle möglichen zahlen eingesetzt und es wird immer positiv. Es muss ja negativ werden da es kein lokales minimum ist, aber ich hatte keinen beispiel finden können.

kann man das aber nicht in Polarkoordinaten umrechnen und sagen
x=sina, y=cosa und dann damit weiterversuchen?

08.11.2006, 19:35

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Zitat:

Original von kurze frage
aber ich hab alle möglichen zahlen eingesetzt und es wird immer positiv

Rumprobiererei ist kein Beweis. $\begin{eqnarray*} f(1,0.7) \end{eqnarray*}$ hast du z.B. nicht probiert...

EDIT: ... Und etwas systematischer: Man findet rasch die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left( x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x \right)^2 - \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x=\varepsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\varepsilon \left( \frac{3}{2}-\varepsilon\right)} \end{eqnarray*}$ folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = - \frac{\varepsilon^2}{4} < 0 \end{eqnarray*}$ .

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