Beweis aus der Gruppentheorie

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earthie Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis aus der Gruppentheorie
Hallo zusammen, ich möchte eine Aussage aus der Gruppentheorie beweisen, habe aber keine Beweisidee.

Sei G endliche Gruppe, so dass gilt:


Gruss
earthie
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, du weisst sicher, dass wobei e das neutrale Element sein soll.

Nun musst du nur noch nach einem Element Ausschau halten, welches die Ordnung hat. Dabei hilft deine Vorraussetzung.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

edit...
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

ok, neuer Versuch:

Sei g ein Element mit Ordnung k, dann gibt es k-1 weitere Elemente g^2,...,g^(k-1), so dass gilt (g^i)^k=e

Nach Voraussetzung gibt es damit kein h (das nicht von g erzeugt wurde) aus G mit einer Ordnung, die k teilt,
also gilt: |G|=k_1+k_2+...k_i wobei ggT(k_i,k_j)=1 und k_i teilt |G|.

=> k_1=|G|
=> es gibt ein g mit Ordnung |G|
=> G zyklisch


ist das ok so, gibt es einen kürzeren Beweis?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Argumentation nicht. Bzw. sie ist falsch:

Hat g die Ordnung k, dann haben nicht unbedingt (bzw. sogar mit Sicherheit nicht alle - ausser k ist Prim) die Ordnung k.

Weiterhin sagt die Voraussetzung nichts darüber aus, ob es zu irgendeinem k ein Element mit dieser Ordnung geben kann.

Was dir die Voraussetzung jedoch gibt, ist eine Abschätzung über die Anzahl der Elemente mit Ordnung k oder kleiner. Und das reicht auch schon aus, um zu wissen, ob es ein Element mit Ordnung gibt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Was dir die Voraussetzung jedoch gibt, ist eine Abschätzung über die Anzahl der Elemente mit Ordnung k oder kleiner. Und das reicht auch schon aus, um zu wissen, ob es ein Element mit Ordnung gibt.

Na, so einfach ist das jetzt nicht: Was die Voraussetzung wirklich angibt, ist für ein vorgegebenes k eine Abschätzung über die Anzahl der Elemente mit einer Ordnung, welche Teiler von k ist.
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ja, da hast du (bzw. habt ihr) natürlich recht.

Dann hilft vielleicht noch der Hinweis, dass die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilen muss.

Wink
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
ok, neuer Versuch:

Sei g ein Element mit Ordnung k, dann gibt es k-1 weitere Elemente g^2,...,g^(k-1), so dass gilt (g^i)^k=e

Nach Voraussetzung gibt es damit kein h (das nicht von g erzeugt wurde) aus G mit einer Ordnung, die k teilt,
also gilt: |G|=k_1+k_2+...k_i wobei ggT(k_i,k_j)=1 und k_i teilt |G|.

Warum in aller Welt sollte das, was ich rot hervorgehoben habe, gelten?

Zitat:
Original von earthie
=> k_1=|G|

Selbst unter deiner falschen Voraussetzung sehe ich nicht, warum das dann daraus folgt... verwirrt

Zitat:
Original von earthie
ist das ok so, gibt es einen kürzeren Beweis?

Antwort: Es gibt (viel) längere, aber dafür richtigere Beweise... Big Laugh
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin noch immer überzeugt von meinem Beweis, darum versuche ich es nochmal zu erklären smile

Zitat:
Original von earthie
Sei g ein Element mit Ordnung k, dann gibt es k-1 weitere Elemente g^2,...,g^(k-1), so dass gilt (g^i)^k=e

das ist genau die zyklische Untergruppe <g> mit k Elementen
insbesondere gilt für alle g' in <g>

weil gemäss voraussetzung: gilt (i)

Zitat:
Original von earthie
Nach Voraussetzung gibt es damit kein h (das nicht von g erzeugt wurde) aus G mit einer Ordnung, die k teilt (ii)

sonst wäre das ein Widerspruch zu (i)
damit besteht G aus disjunkten zyklischen Gruppen mit teilerfremder Ordnung (Hinweis: natürlich kann <g> echte zyklische Untergruppen <h> haben. Für die folgende Kardinalitätsgleichung betrachte ich aber nur <g>)
Zitat:
Original von earthie
also gilt: |G|=k_1+k_2+...k_i wobei ggT(k_i,k_j)=1 und k_i teilt |G|.

Erklärung: k_i bezeichne die zyklische Gruppe mit Ordnung k_i
ggT(k_i,k_j)=1 beweise ich dir mit der Gegenannahme: ggT(k_i,k_j) sei a*p mit aG und p prim, dann existiert nach den Sylowsätzen ein Element der Ordnung p und es gilt a*p liegt in k_i und in k_j, also ein Widerspruch zu (ii)

Zitat:
Original von earthie
=> k_1=|G|
=> es gibt ein g mit Ordnung |G|
=> G zyklisch

k_1=|G| folgt aus der Ordnungsgleichung oben und Lagrange (k_i teilt |G|)
und somit G=<g>

Zitat:
Original von earthie
ist das ok so, gibt es einen kürzeren Beweis?

nochmal die Frage Augenzwinkern
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von earthie
=> k_1=|G|

Selbst unter deiner falschen Voraussetzung sehe ich nicht, warum das dann daraus folgt... verwirrt


Sei |G| prim, dann ist G zyklisch

Sei |G| Produkt von Primzahlen z.b 2*2*3*5=60
dann gibt es mit den Voraussetzungen folgende Möglichkeiten:
wir haben (maximale) zyklische UG von G der Ordnung
i) 3,4,5
ii) 3, 20
iii) 4, 15
iv) 60

und weil die aufsummierten Kardinalitäten = 60 sein müssen, folgt iv)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
ggT(k_i,k_j)=1 beweise ich dir mit der Gegenannahme: ggT(k_i,k_j) sei a*p mit aG und p prim, dann existiert nach den Sylowsätzen ein Element der Ordnung p und es gilt a*p liegt in k_i und in k_j, also ein Widerspruch zu (ii)
)


Nicht bös sein, aber dieser "Beweis" ist so sinnlos, wie etwas nur sinnlos sein kann... unglücklich

ggT(k_i,k_j) ist eine natürliche Zahl, aber kein Element der Gruppe (oder bestehen deine Gruppen alle aus Zahlen? verwirrt ) Plötzlich liegt auch a*p in k_i und k_j, also sind die k_i und k_j dann tatsächlich Mengen und nicht Zahlen? geschockt
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Edith sagt zum Beweis:

natürlich ist a in der Annahme ggT(k_i,k_j)=a*p eine natürliche Zahl und nicht in G.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
Edith sagt zum Beweis:

natürlich ist a in der Annahme ggT(k_i,k_j)=a*p eine natürliche Zahl und nicht in G.

Ja, aber du argumentierst ja dann weiter mit Sylowsätzen, also mit Sätzen aus der Gruppentheorie und nicht der Zahlentheorie... Sorry, aber wenn du nur irgendwelche Begriffe, die du offenbar in jüngster Zeit gehört hast, z.B. Sylowsätze, in einen Topf haust und gut umrührst, kann da noch keine schmackhafte Brühe draus werden... geschockt

Aber wenn du willst, kann ich ich dich schon zur Lösung hinführen, nur solltest du dann etwas ernsthafter an die Sache herangehen...

Ist n:=|G| und



die Primfaktorzerlegung von n, so solltest du als erstes versuchen die Existenz von Elementen für jeden Primfaktor p von n zu zeigen, für welche gilt



Fang damit an, dass du die Existenz von Elementen für jeden Primfaktor p von n zeigst, welche der schwächeren Bedingung



genügen... Zeige letzeres indirekt, indem du das Gegenteil annimmst, und dies dann mit k=n/p aus der Voraussetzung der Satzes auf einen Widerspruch führst...
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Notation ist nicht meine Stärke, aber aus den Sylowsätzen folgt direkt:

"Ist G eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl p geteilt wird, so gibt es in G ein Element der Ordnung p."

diesen kann ich sehr wohl auf die Ordnungen der zyklischen Gruppen anwenden...
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis.

Auf jeden Fall ist mir jetzt klar, dass die Behauptung nicht trivial ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheinst du versessen darauf zu sein, die Sylowsätze hier anwenden zu wollen... Natürlich sieht ein Profi nach einem kurzen Blick auf die Angabe sofort, dass daraus folgt, dass die Sylowgruppen zyklisch und Normalteiler von G sind, aber hier mit Sylowsätzen zu arbeiten hieße "mit Kanonen auf Spatzen zu schießen"... Deren Beweis ist nämlich um einiges schwerer als ein elementarer Beweis des Satzes, um den es hier geht und für welchen ich dir oben schon einen nützlichen Tipp gegeben habe, den du endlich mal aufgreifen solltest...

Edit: Ja, die Aufgabe ist alles andere als trivial, ein Trugschluß, dem offenbar auch gonnabphd erlegen ist... Sie ist aber auch wieder nicht besonders schwer, wenn man den richtigen Weg einschlägt bzw. einen guten Wegführer hat... Augenzwinkern
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