rechter und linker Grenzwert

14.08.2010, 02:29

beuu

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rechter und linker Grenzwert

Hallo,

ich weiß nicht ob ich das was ich so berechnet habe richtig ist und brauche deshalb unbedingt Hilfe. Ich möchte den linken und rechten Grenzwert bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ausrechen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} \frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} \frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-4} \end{eqnarray*}$

Ich habe den rechten Grenzwert ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} x=2+h: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^{2}-4(2+h)+3}{(2+h)^{2}-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2}+4h+4-8-4h+3}{h^{2}+4h+4-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2}-1}{h^{2}+4h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h+4} + \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h^{2}+4h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 - \infty = -\infty \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn so???? Und für den linken Grenzwert wäre das dann unendlich.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Gruß

14.08.2010, 02:35

Airblader

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Was ist denn die Begründung dafür, dass der zweite (Teil-)Grenzwert dann gegen -oo strebt? Und eine Denkaufgabe: Warum macht die zu ungenaue Angabe "h -> 0" nicht viel Sinn (Tipp: Wie sieht es denn mit dem linksseitigen Grenzwert aus?)?

Die Methode über x = 2 + h zu gehen ist ja nett, sollte dann aber entsprechend sauber gemacht werden. Aber für das Argument, das du am Ende insgeheim anführst und einfach unterschlägst, wäre die ganze Aktion dann wieder etwas unnötig. Denn mit dem selben Argument kannst du auch ganz direkt argumentieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Achso, aber das Ergebnis stimmt natürlich.

air

14.08.2010, 02:41

beuu

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Für den linken bekomme ich hiermit auch - unendlich ?? Kannst mir weiterhelfen.

14.08.2010, 02:52

Airblader

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Was bedeutet "hiermit"? Und wieso plötzlich -oo? Oben hast du noch geschrieben:

Zitat:

Und für den linken Grenzwert wäre das dann unendlich.

air

14.08.2010, 02:57

beuu

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Hatte was falsch gemacht. Mit hiermit meine ich mit dieser Methode, die ich auch schon oben angewendet habe (also dann nur 2-h einsetzen). unglücklich

unglücklich

EDIT: Linker Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} ..... = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h-4} + \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h^{2}-4h} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verechnet haben sollte.

14.08.2010, 03:03

beuu

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Oder ist -1/(0-0)= -1/-0 = oo ???? Dumme Frage aber ich bin mir nicht so sicher ob man das so machen kann. Hoffentlich liege ich nicht ganz falsch smile

smile

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14.08.2010, 03:22

beuu

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Blödsinn, sorry!!! Wie kann ich das denn genau berechnen?

14.08.2010, 03:26

Airblader

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Tja, wo liegt der Hase nun also im Pfeffer?
Die Antwort darauf sollte sich eigentlich aus meiner Frage ergeben, die du stillschweigend ignoriert hast: Warum macht es nicht viel Sinn, von $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ zu sprechen?

Je nachdem, ob nun $\begin{eqnarray*} h \to 0+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h \to 0- \end{eqnarray*}$ betrachtet wird, hast du nämlich das selbe Problem nur mit einem anderen Buchstaben dort stehen. Was du einfach unter den Tisch fallen lässt, ist die Bemerkung, dass du eigentlich jedes Mal nur den rechtsseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray*} h \to 0+ \end{eqnarray*}$ betrachten möchtest.
Damit löst du aber kein Problem, du spiegelst es lediglich. Aus der Betrachtung eines links- und eines rechtsseitigen GWes machst du einfach eine Betrachtung zweier rechtsseitiger GWe.

Der Punkt, der die Argumentation nun zu Fall bringt, ist die Frage:

Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h^2+4h} = -\infty \end{eqnarray*}$ ?
Oder anders gesagt: Gilt es überhaupt (in dieser Form wie es dasteht)?
Antwort: Nein. Die Gründe stehen oben.

Aber nun sind wir ja schlauer. Wir wissen, dass du nicht $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ betrachten willst, sondern etwas präziser: $\begin{eqnarray*} h \to 0+ \end{eqnarray*}$ .
Wir stellen die Frage erneut in entsprechend abgewandelter Form:

Warum gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{-1}{h^2+4h} = -\infty \end{eqnarray*}$ ?

Und darauf darfst du mir jetzt mal antworten. Soll heißen: Wie hast du den Grenzwert bestimmt? smile

smile

air

14.08.2010, 03:36

beuu

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Deine Frage habe ich nicht ignoriert, ich habe mich nur gefragt warum das so nicht funktionieren soll.

Ich weiß nicht warum das $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{-1}{h^2+4h} = -\infty \end{eqnarray*}$ gilt. Ich habe vorhin einfach

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h^2+4h} = -\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2+4h} = -\infty \end{eqnarray*}$

berechnet

14.08.2010, 03:39

Airblader

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Und wie hast du das berechnet (mal abgesehen davon dass es eben nur halb richtig ist)?

air

14.08.2010, 04:01

beuu

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Ich bin halt nur davon ausgegangen, dass 1/0 = oo und das minus ergibt sich durch die -1. Deshalb habe ich ja auch hier im Forum gefragt.

14.08.2010, 04:04

beuu

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Mit Grenzwerten habe ich oft meine Probleme, wenn es besonders um solche rechten oder linken Grenzwerte geht. Manchmal sind die ziemlich leicht zu berechnen, manchmal auch nicht. Graphisch sieht mans dann immer, aber wir sollen es ja nicht graphisch machen.

14.08.2010, 04:14

Airblader

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Zitat:

Original von beuu
Ich bin halt nur davon ausgegangen, dass 1/0 = oo

Das ist so ja schonmal falsch. Durch Null darf man nicht teilen!
Hier geht es aber auch nicht um 1/0, sondern um einen speziellen Grenzwert. Zum Aufwärmen schauen uns wir aber mal den hier an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

Doch was ist dieser Grenzwert nun? Du sagst also $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .
Nun, dann schauen wir uns doch mal an, was passiert, wenn wir uns von links der Null nähern:

Das sieht aber mehr nach $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ aus, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und genau das ist das Problem: Vom Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ kannst du nicht sprechen, denn für jeweils $\begin{eqnarray*} h \to 0+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \to 0- \end{eqnarray*}$ ist er verschieden!

Und genau das selbe Problem hast du nun für $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h^2+4h} \end{eqnarray*}$ . Wie du siehst ist der Grenzwert unterschiedlich, je nachdem von welcher Richtung du dich h=0 näherst:

Nun hast du die Substitution $\begin{eqnarray*} x = 2+h \end{eqnarray*}$ ja aber aus einem bestimmten Grund gemacht: Du sagst, dass du dich "der 2 von rechts" nähern kannst, indem du zur 2 noch etwas dazugibst, das du dann klein werden lässt. Du meinst dabei aber natürlich, dass dieses "etwas" positiv sein soll, d.h. $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ (sonst wäre es ja nicht von rechts). Und dementsprechend interessiert dich auch nur der Grenzwert $\begin{eqnarray*} h \to 0+ \end{eqnarray*}$ .

Dann stehen wir jetzt aber vor dem Problem, dass wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0+} \frac{-1}{h^2+4h} \end{eqnarray*}$

bestimmen müssen. Doch wie machen wir das? Woher weißt du, ob das +oo oder -oo ist? Das ist doch der ganze Knackpunkt im Moment. Und vermutlich machst du es intuitiv richtig: Wenn h nur positiv ist, dann ist auch h²+4h positiv. Und dann geht 1/(..) gegen +oo. Durch das Minus im Zähler wird ein -oo daraus. Und das ist ja auch vollkommen korrekt!

Die Frage ist doch jetzt: Was spricht dagegen, dies direkt bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} \frac{x^2-4x+3}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

so anzuwenden? Denn dann kannst du dir unnötiges Substituieren und Rumrechnen sparen. Denn auch hier: Der Zähler geht gegen -1, der Nenner ist, wenn du dich von rechts der 2 näherst, immer größer als 0 (geht aber gegen Null, eben von rechts) und damit ist der Grenzwert -oo.

Ich hoffe, du siehst nun, wo das Problem bei deinem Vorgehen liegt und warum da schlicht unnötig viel Gerechne eingeht, um letztlich das selbe Problem an anderer Stelle zu haben. Alles, was du mit x=2+h erreicht hast, ist, dass du das Problem von der 2 auf die 0 verschoben hast. Existieren tut es dann aber immer noch.

air

14.08.2010, 04:27

beuu

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Ich danke dir für deine Mühe mir das ganze so ausführlich zu erklären. Viele Grüße

14.08.2010, 04:28

Airblader

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Gern geschehen. Viel wichtiger wäre aber zu wissen, ob du es verstanden hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

14.08.2010, 04:36

beuu

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Doch ich habe das verstanden. Besonders lobenswert finde ich die Graphen, weil ich mir selber auch gerne Graphen anschaue, um ein besseres Verständnis dabei zu haben. Ich werde jetzt nie mehr wieder x=x0+h oder x=x0-h benutzen. Danke nochmals

14.08.2010, 04:37

Airblader

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Die Substitution in diesem Fall ist ja nicht völlig verkehrt. Sie kann durchaus dem Verständnis helfen. Einmal begriffen ist sie hier aber doch eher unnötig, da man letztlich das selbe Argument anwendet und viel Rechnen muss.

Aber schön, dass du es verstanden hast Freude

Freude

air

14.08.2010, 04:38

beuu

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Du kannst mir ja jetzt auch mal ein paar Übungsaufgaben schicken. Hehehehe

14.08.2010, 04:39

Airblader

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Da findest du im Forum, im Internet und im Buch sicherlich genug. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

14.08.2010, 04:40

beuu

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Freude

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