Multiplikative Gruppe von Z_p

14.08.2010, 11:52	earthie	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikative Gruppe von Z_p Hallo zusammen, ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{p}=\lbrace\overline{1},...,\overline{p-1}\rbrace \end{eqnarray*}$ für p prim eine Gruppe bzgl. Multiplikation ist. Abgeschlossenheit, neutrales Element, Assoziativität ist klar, aber wie zeige ich (ohne den kleinen Satz von Fermat), dass jedes Element ein Inverses besitzt?
14.08.2010, 12:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gäbe es ein Element ohne Inverses, so lässt sich leicht die Existenz von Nullteilern nachweisen, was klarerweise unmöglich ist, da p Primzahl ist. Oder anders gesagt: Betrachte zu $\begin{eqnarray} a \in \mathbb Z_p^ \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} f_a: \mathbb Z_p^* \to \mathbb Z_p^, x \mapsto ax \end{eqnarray}$ . Wegen der Endlichkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p^ \end{eqnarray*}$ ist Injektivität äquivalent zur Surjektivität.
14.08.2010, 13:00	earthie	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe

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