Beweis, dass gegebene Punkte einen Würfel bilden

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Doreen H. Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass gegebene Punkte einen Würfel bilden
Hallo smile

Also ich habe in einem 3-dimensionalen Koordiantensystem 8 Punkte (bzw. Ortsvektoren) gegeben. Und ich soll zeigen, dass die Punkte einen Würfel bilden.

Ein Würfel bedeutet doch: Alle Seiten gleichlang, gegenüberliegende Seiten parallel, Winkel aller Seitenflächen sind 90°.

Muss ich mit Hilfe der Vektoren jetzt diese Kennzeichen für einen Würfel alle nachweisen? Das dauert doch ewig? Gibts da einen kürzeren Weg? Ich weiß nicht, ob es reicht, das für die 3 verschiedenen Seiten zu beweisen. Also für Länge, Breite und Höhe. Also zumindest, dass sie gleichlang sind und rechtwinklig aufeinander liegen. Was soll ich jetzt tun? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Seien die Eckpunkte des Würfels ABCD (Grundfläche) und EFGH (Deckfläche), so muss z.B. die Gleichheit der Vektoren AB, DC, EF, HG und analog jener 2 x 4 weiteren entsprechenden Vektoren nachgewiesen werden. Dies dauert nicht lange.
Danach genügt es, die Orthogonalität der drei von einem Eckpunkt ausgehenden Vektoren zu zeigen, in den anderen Eckpunkten muss demnach das Gleiche gelten.

mY+
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichheit der Vektorlängen muss mit zwei weiteren Paaren geprüft werden (wenn mit «Orthogonalität» bei Vektoren wie üblich nur der rechte Winkel gemeint ist).
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Die Gleichheit der Vektorlängen muss mit zwei weiteren Paaren geprüft werden (wenn mit «Orthogonalität» bei Vektoren wie üblich nur der rechte Winkel gemeint ist).

verwirrt

Ich hatte oben geschrieben, dass die Gleichheit der Vektoren insgesamt mit 3 x je 4 parallelen Kanten geprüft werden muss. Das genügt - zusammen mit der beschriebenen Orthogonalität - nach meiner Meinung vollständig.

mY+
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Seien die Eckpunkte des Würfels ABCD (Grundfläche) und EFGH (Deckfläche)

Und was machst du, wenn die 8 Punkte nicht so schön geordnet vorgegeben sind?
Also, wenn sie sich erlauben, irgendwie unbenannt herumzuliegen..
Wie erkennst du dann jene 4, die - auch noch in der richtigen Reihenfolge - zB die
Grundfläche bilden?


Nebenbei:
Von einem (Eck-)Punkt gehen 7 Vektoren aus (3 Kanten- 3 Flächendiagonalen- 1 Raumdiagonale)
.. ob du damit die 8 Punkte schon mal irgendwie "ordnen" könntest?
und schon ein erstes Grob-Filter hättest, das Negativ-Aussagen erlauben wird.
("ist schon mal ohne weitere Abklärung sicher kein Würfel" oder so..)


Ausserdem:
Vermutlich wäre es sinnvoll, wenn der Fragesteller sich dazu bequemen würde,
seine Aufgabe vollständig zu veröffentlichen .(zB mit Angabe der ihm gegebenen Daten usw..)
oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Notwendigkeit zur Konkretisierung des Beispiels hast du völlig Recht.
Von vornherein ist die Annahme zu treffen, dass 4 Basis- und 4 Deckflächenpunkte in Ebenen liegen. Überdies müssen diese parallel zueinander sein.

Mit von einem Eckpunkt ausgehenden Vektoren sind die Kantenvektoren gemeint.

Es ist wirklich besser, zunächst auf konkrete Angaben zu bestehen, als hier (müßig) über Dinge, die wir ja ohnehin kennen, weiter zu diskutieren.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili

Dein Einwand besteht zu Recht.
Es müssen auch noch die Längen der Vektoren in den drei Richtungen überprüft werden!

mY+
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