Uneigentliches Integral - Schritt unklar

14.08.2010, 14:55	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral - Schritt unklar $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{x^{2}+4 } \, dx = \frac{1}{4} \int_2^\infty \! \frac{1}{(\frac{x}{2}) ^{2}+1 } \, dx \end{eqnarray}$ Was haben die hier gemacht? Meine Vermutung war das 1/4 vor die Klammer gezogen, nur warum bleibt dann +1 unter dem Bruchstrich uebrig? Vor allem was ist mit x^2 passiert? Danach soll es weiter auf die Stammfunktion arctan zugehen.
14.08.2010, 14:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das siehst du richtig. Zieh die 1/4 mal wieder ins Integral rein und vereinfache so weit wie möglich. Dann wirst du sehen was gemacht wurde (eben 4 im Nenner ausgeklammert).
14.08.2010, 15:07	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab 1/4 reingezogen, komme jedoch noch auf nen anderes Ergebnis ^^ $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1 }=\frac{1}{(\frac{2x}{1})^2+4 } \end{eqnarray*}$
14.08.2010, 15:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplizier erstmal $\begin{eqnarray} \left(\frac{x}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ aus, was kommt da raus?
14.08.2010, 15:11	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
(x*x)/4
14.08.2010, 15:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, und wenn du das jetzt mit 4 multiplizierst?
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14.08.2010, 15:17	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiss noch nich wo du rauf hinauswillst, aber ich mach mal weiter mit 4x/4 * 4x/4 = x*x
14.08.2010, 15:18	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich glaub ich habs jetzt gesehen, ich denk echt manchmal zu komplex glaub ich
14.08.2010, 15:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also genau das was vorher da stand. Und genau rückwärts zu dem was du jetzt gemacht hast, wurde es gemacht, was allerdings etwas mehr Übung braucht und vorallem das Ziel kennen muss.
14.08.2010, 15:20	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meine gut, bei der 4 seh ich das ja sofort dass ich die 4 rausnehmen kann, nur bei der x^2 - da hab ich jetzt immernoch nicht den dreh raus wie ich das da schnell rauskrieg, also der Weg fehlt mir
14.08.2010, 15:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a \cdot x^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot x^2 = (\sqrt{a} \cdot x)^2 \end{eqnarray}$ für a >0. Dieser Weg ist da gegangen worden.
14.08.2010, 16:53	mso321	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, soweit jetzt klar. Hab es jetzt Anders verstanden indem ich einfach den Nenner mal durch 4 geteilt habe, dann kam das Licht am Ende des Tunnels - und nein, es war kein Zug zwinker So, jetzt geht es weiter mit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\int_2^\infty \! \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \, dx =\frac{1}{2}\left[arctan\frac{x}{2}\right]_{2}^{\infty } \end{eqnarray}$ Ich konnte nun arctan als Stammfunktion finden. Was ich nur nicht verstehe, wie die in der Musterloesung die 1/2 Zaubern. Ich hab so ganz duenn noch in erinnerung dass ich hier die x/2 irgendwie nochmal ueber ne Stammfunktion beruecksichtigen muss. Liege ich da richtig, wenn ja, wie funkzt dies in Verbindung mit der Formel, wird es einfach
14.08.2010, 16:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere einfach z := x/2. Dann hast du im Integral genau die Formel für den arctan(z) und der Vorfaktor wird durch die Substitution berücksichtigt.

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