Extremwertberechnung

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floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Edit (mY+): Titel geändert, Aufgaben sind das alles hier

Meine Frage:
Hey,
also ich besuche seit dem 09.08.2010 die Fachoberschule Richtung Gestaltung.
Nun habe ich in Mathe das Thema "Extremwertberechnung" bekommen.
Wir sind das Thema durchgegangen und haben das Ableiten etc. ausprobiert.
Nun habe ich eine Aufgabe bekommen die ich lösen soll.
Nur weiß ich nicht wie ich da am besten anfange. -.-
Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr sehr dankbar.
Selber rechnen möchte ich schon. Nur kleine Denkanstöße und Richtungszuweisungen sind erwünscht (:
Vielen Dank schonmal im vorraus.

Aufgabe:

Aus einem 120cm langen Draht ist ein Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass der Rauminhalt maximal wird. Wie lang sind die Kanten wenn,

a) die Grundfläche quatdratisch ist?
b) der Quader dreimal so lang ist, wie breit?

MfG Dennis

Meine Ideen:
zu a)...

Da muss die Kantenlänge doch 30cm sein oder nicht ? 4*30cm = 120cm

zu b)...

sind die Kanten doch 2*15cm & 2x 45cm

Ist das schon die Komplette aufgabe ?
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi smile

Erstmal zur a):
Versuch mal mit Haupt- und Nebenbedingung eine Gleichung aufzustellen. Mein Vorschlag:

Hauptbedingung (Volumenformel des Quaders):


Da die Grundfläche quadratisch sein soll, kannst du z.B. b = a setzen, womit sich die Formel vereinfacht:



Als Nebenbedingung hast du die Länge des Drahtes:

8a + 4c = 120

Die 8 sind die Anzahl der Kanten der quadratischen Grundfläche "oben und unten", die restlichen 4 kannst du dir sicherlich denken ;D
Jetzt die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und ableiten, um das Maximum zu finden. Dazu formst du die Nebenbedingung so um, dass du damit eine Variable der Hauptbedingung ersetzen kannst, also z.B.

8a + 4c = 120 |/4
2a + c = 30
c = 30 - 2a

In die Hauptbedingung eingesetzt:



Das auflösen, ableiten, Nullstellen suchen und du bist mit der a) fertig. Die b) verläuft dann so ähnlich.
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm jaaa ^^ also einsetzen Big Laugh
Da ist schon mein erstes Problem...

V= a² * (30-2a)

Wie bekomme ich den jetz nun a heraus ?

Habe doch nur z.B 8a + 4c = 120
2a + c = 30
c = 30 - 2a

aber brauche ja um a² einsetzen zu können ja a ^^ damit ich a*a rechnen kann ...
-.-
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da tobsen 02 off ist, antworte ich mal.

Was genau möchtest du denn jetzt berechnen? verwirrt

smile
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also:

Ich habe ja nun die Formel

V= a² * (30-2a)

Nun möchte ich das ja Errechnen das ich dann iwann ableiten kann ...

Aber woher bekomme ich jetz das mit dem a herraus ?

Schreibe ich dann jetz erst

V= 30a² - 2a³ oder wie ?
Ich steige hier gerade überhaupt nicht durch -.-

Oder muss ich mir erst vorher a errechnen damit ich es dann einsetzen kann ?
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hmm jaaa ^^ also einsetzen Big Laugh
Da ist schon mein erstes Problem...

V= a² * (30-2a)


Du hast mich glaube ich etwas missverstanden. Die Formel der letzten Zeile meiner Antwort ist schon "fertig". Eingesetzt wurde nämlich bereits vorher, genauer gesagt hier:

| Hauptbedingung
| umgeformte Nebenbedingung


Danach habe ich einfach das "c" der Nebenbedingung in die Hauptbedingung eingesetzt, also:



Diese Formel musst du jetzt ableiten, denn du möchtest ja das maximale Volumen und die dazugehörigen Kantenlängen herausfinden.



Von der Ableitung musst du jetzt nur noch die Nullstellen suchen.
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dachte ich mir, dass dir etwas die Übersicht fehlt. Augenzwinkern

Du hast vollkommen recht: Du musst in der Tat ableiten und dazu empfiehlt es sich die Klammer aufzulösen:

Zitat:
Original von floeeeE
V= 30a² - 2a³

Diese Gleichung kannst du nun ableiten. Weißt du, wie du dann weiterrechnen musst?

smile

edit: tobsen ist wieder da, ich ziehe mich zurück.
Wink


edit3:

@tobsen02
Bitte rechne nicht zuviel selbst vor. Das sollte dem Fragesteller überlassen werden.
Danke
smile
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo....

Also
V= 30a² - 2a³
V'= 60a - 6a² ist die Ableitung ...

Nun muss ich ja auf 0 stellen...

Dies mache ich doch mit der Mitternachtsformel... Oder irre ich mich da ?

Aber da brauche ich doch ax² + bx + c als werte ?
Und nun habe ich doch nur 2 Werte...
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip kann man es mit der Mitternachtsformel für c=0 lösen, aber es gibt einen viel einfacheren Weg. Denke mal ans ausklammern und überlege dir dann, wann ein Produkt = 0 ist. Augenzwinkern
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Einen einfacherern Weg ?



Was kann ich denn hier ausklammern ? Habe doch nun überhaupt keine Klammern mehr ?

*Wie gesagt, bin ein absoluter anfänger, und dachte eigtl das ich das Ableiten zumindest geschnallt habe... Aber iwie verstehe ich gerade nur Bahnhof -.-
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, ein Crashkurs im Ausklammern kann in der späteren Mathematik nie schaden Big Laugh

Mal ein Beispiel:



Du hast in der ersten Gleichung aus jedem Summanden herausgezogen und damit ein Produkt mit 2 Faktoren gebildet. Übertrage das mal auf deine Gleichung und überlege dir dann, wann die Gleichung null wird. Freude
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meinem Fall:

0 = 60a - 6a²
0 = 60 * (a - 6a)

oder wie ?
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du etwas ausklammerst musst du auch jeden Summanden durch den ausgeklammerten Term teilen. Wenn du die 60 ausklammern willst, sieht es folgendermaßen aus:


Wenn du den ausklammerten Term wieder multiplizierst, muss am Ende wieder die Ausgangsgleichung da sein.

Bei deinem Versuch wäre es folgendermaßen:


Wenn du jetzt die 2. Gleichung wieder auflöst erhälst du diese Gleichung, die aber nicht der ersten Gleichung entspricht:



Dementsprechend hast du also nicht richtig ausgeklammert, sonst würde nach dem ausmultiplizieren wieder die Ausgangsgleichung da stehen.

Bei deiner Aufgabe machst es aber viel mehr Sinn das a auszuklammern. Versuch es mal.
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm -.-
Ich muss echt noch sehr viel nachholen ...
Hatte weder Extremwertberechnung noch Ausklammern schon einmal ...

Nochmal ein Versuch:
...

0= 60a - 6a²

0 = a² * (30a - 3)

Aber befürchte das ist auch falsch -.-

Aber wenn ich einfach nur das a von den 60 ausklammer ist das ja nur ein a und dann teil ich doch nur durch 1 oder nicht ?
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Ausklammern ist auf jeden Fall eine gute Sache, denn man muss nicht darauf achten, ob a = 0 ist, denn man teilt nicht durch a Augenzwinkern

Richtig ausgeklammert wird, wie du schon angemerkt hast, das a.

0 = a*(60-6a)

Jetzt hast du zwei Faktoren, einmal das a und einmal (60-6a). Jetzt musst du überlegen, wann das Produkt 0 wird, und das passiert, wenn einer der Faktoren 0 wird.

Du hast dann zwei Gleichungen.

0 = a
0 = 60 - 6a

Und dann musst du überlegen, welcher der Werte das Maximum darstellt, also ggf. über die zweite Ableitung oder auch logisches Denken ;D
Das a wird dann in die Nebenbedingung wieder eingesetzt, damit du das c errechnen kannst, danach a und c in die Hauptbedingung einsetzen und du hast das maximale Volumen.
Bin jetzt aber erstmal für ein paar Stunden weg, aber die Lösung ist ja schon fast da Wink
floeeeE Auf diesen Beitrag antworten »

also
0 = 60x - 6x²
0 = a * (60 - 6a)

a1= 0
a2 = 60 - 6a

60 - a = 0 (+6a)
60 / 6

10 = 0

Also ist das Ergebnis von a) 10 cm ?
(:

Richtig ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von floeeeE
...
60 - a = 0 (+6a)
60 / 6

10 = 0
...

10 = 0 kann doch nicht stimmen!

a = 10 schon eher!

Hinweis: Beim Ausklammern kann man die 6 auch "mitnehmen", dann wird's noch leichter:

0 = 6a(10 - a)

Die 6 ist sowieso ungleich Null ...

mY+
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also ist das Ergebnis von a) 10 cm ?


Richtig, die Kantenlänge von a beträgt 10cm.
Um deine Rechnung nochmal sortiert hinzuschreiben:

Die Ableitung der Volumenformel hat an ihren Nullstellen Extrema. In unserem Fall bei a1=0 und bei a2=10, wie bereits von dir berechnet. Um jetzt festzustellen ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt, kannst du 0 bzw. 10 in die zweite Ableitung einsetzen oder darüber nachdenken, ob 0cm als Kantenlänge Sinn ergibt Augenzwinkern

Wenn man sich nun darüber klar ist, dass der Quader mit der Kantenlänge a=10cm ein maximales Volumen hat, muss man jetzt noch c berechnen. Das kann man beispielsweise, indem man a in die Nebenbedingung einsetzt.

c = 30 - 2a
c = 30 - 2*10cm
c = 10cm

Somit hat dein Quader bei den Kantenlängen für jeweils 10cm für a und c ein maximales Volumen von 1000 Kubikzentimetern.


Jetzt aber zu b)
Auch hier gilt es, sowohl eine Hauptbedingung als auch eine Nebenbedingung zu finden.

Die Hauptbedingung kann man wieder übernehmen:


Die Nebenbedingung ist auch wieder ähnlich:



Jetzt haben wir nur das Problem, dass wir nicht ableiten können, weil wir mehrere Variablen in den Gleichungen haben. Im Aufgabentext ist aber noch eine weitere Angabe vorhanden, nämlich die Länge des Quaders soll dreimal so lang sein wie breit.
Damit kannst du jetzt eine weitere Gleichung aufstellen, z.B.

Welche Variablen du nimmst (z.B. 3a = b geht auch) ist egal und hängt allein davon ab, als was du die Variable definierst.

Damit kannst du jetzt die Gleichungen vereinfachen:

Hauptbedingung:


Nebenbedingung:



Jetzt muss man noch die Nebenbedingung nach a auflösen, um es ebenfalls in die Hauptbedingung einzusetzen:



Hauptbedingung:


Und dann wieder auflösen, ableiten, Nullstellen suchen usw.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@tobsen02

Noch einmal die Bitte an dich, nicht zu viel vorzurechnen. Wir geben hier Hilfe zur Selbsthilfe, die meiste Arbeit ist immer vom Fragesteller zu leisten, nicht vom Helfer.

Ich bitte um Beachtung dieses Prinzips. Danke.

smile
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